zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Структура » Преподаватели » Веремей Е. И.

Вопросы к экзамену по курсу
Теория управления, часть 1 -
Вариационные методы теории оптимального управления

2-й курс, весенний семестр 2005-2006 учебного года

  1. Введение: общее представление о теории управления.
  2. Введение: вопросы оптимизации в теории управления.
  3. Примеры содержательных задач о поиске экстремума интегрального функционала (аппроксимации, брахистохрона, минимальная поверхность вращения).
  4. Понятие функционала. Функционалы в метрических и линейных пространствах.
  5. Формализованные задачи вариационного исчисления. Пространство C^k[a,b]: норма, метрика, близость элементов. Классификация экстремумов.
  6. Элементы дифференциального исчисления в ЛНП: производная по направлению, первая вариация функционала. Примеры.
  7. Элементы дифференциального исчисления в ЛНП: дифференцируемость по Гато и Фреше. Дифференциал Фреше линейного непрерывного функционала.
  8. Сильная дифференцируемость функционала int_{a}^{b}F[t,x(t),x'(t)]dt.
  9. Условия локального экстремума функционалов в ЛНП.
  10. Простейшая основная задача вариационного исчисления. Необходимое условие экстремума.
  11. Основные леммы классического вариационного исчисления (Лагранжа, Дюбуа-Реймона).
  12. Уравнение Эйлера (в двух формах).
  13. Экстремали в регулярном и сингулярном случаях. Теорема Гильберта.
  14. Случаи упрощения уравнений Эйлера. Примеры.
  15. Простейшая вариационная задача с подвижными границами. Выражение для дифференциала по параметру.
  16. Простейшая задача с подвижными границами. Необходимые условия экстремума для случая свободных границ и условия трансверсальности.
  17. Экстремали с изломами. Условия Вейерштрасса - Эрдмана.
  18. Простейшие задачи с ограничениями. Условия в точках сопряжения экстремалей и границ.
  19. Вторая вариация функционала. Необходимое условие Лежандра.
  20. Достаточные условия слабого относительного экстремума.
  21. Достаточные условия сильного относительного экстремума.
  22. Необходимые условия Вейерштрасса сильного относительного экстремума.
  23. Принцип минимума в задачах на сильный экстремум.
  24. Простейшая вариационная задача с несколькими неизвестными. Необходимое условие экстремума. Регулярные экстремали.
  25. Каноническая форма системы дифференциальных уравнений Эйлера. Задача с угловыми точками и условия Вейерштрасса - Эрдмана.
  26. Незакреплённые границы в задаче с неизвестными функциями. Условия на свободных границах и условия трансверсальности.
  27. Метод (правило) множителей Лагранжа в конечномерной задаче на условный экстремум.
  28. Вариационная задача Лагранжа на условный экстремум.
  29. Задача Лагранжа со связями в виде системы о.д.у. x'=f(t,x). Частная ситуация с функционалом int_{a}^{b}F[t,x(t)]dt.
  30. Метод (правило) множителей Лагранжа в изопериметрических задачах.
  31. Задача об управлении ракетой как типовая задача теории оптимального управления.
  32. Постановка простейшей задачи поиска оптимального программного управления и её сведение к вариационной задаче на условный экстремум.
  33. Два пути решения простейшей задачи оптимального программного управления, как вариационной задачи на условный экстремум.
  34. Классификация задач по типу функционала. О взаимосвязи задач Лагранжа, Майера и Больца.
  35. Постановка задачи Больца о поиске оптимального программного управления. Необходимое условие экстремума по параметру \epsilon.
  36. Задача Больца о поиске оптимального программного управления. Необходимые условия экстремума.
  37. Задача Больца о поиске оптимального программного управления. Каноническая форма необходимых условий экстремума.
  38. Оптимальное демпфирование переходных процессов по отношению к функции. Задача об оптимальном быстродействии.
  39. Связь задач оптимального демпфирования и минимизации интегральных функционалов.
  40. Принцип Вейерштрасса. Игольчатая вариация управления. Формулировка и схема доказательства основной теоремы.
  41. Принцип максимума. Формулировка теоремы. Сравнение с принципом Вейерштрасса по практическому применению.