Вопросы к экзамену по курсу
Теория управления, часть 1 -
Вариационные методы теории оптимального управления

2-й курс, весенний семестр 2005-2006 учебного года

Введение: общее представление о теории управления.
Введение: вопросы оптимизации в теории управления.
Примеры содержательных задач о поиске экстремума интегрального функционала (аппроксимации, брахистохрона, минимальная поверхность вращения).
Понятие функционала. Функционалы в метрических и линейных пространствах.
Формализованные задачи вариационного исчисления. Пространство : норма, метрика, близость элементов. Классификация экстремумов.
Элементы дифференциального исчисления в ЛНП: производная по направлению, первая вариация функционала. Примеры.
Элементы дифференциального исчисления в ЛНП: дифференцируемость по Гато и Фреше. Дифференциал Фреше линейного непрерывного функционала.
Сильная дифференцируемость функционала $int_{a}^{b}F[t,x(t),x'(t)]dt$ .
Условия локального экстремума функционалов в ЛНП.
Простейшая основная задача вариационного исчисления. Необходимое условие экстремума.
Основные леммы классического вариационного исчисления (Лагранжа, Дюбуа-Реймона).
Уравнение Эйлера (в двух формах).
Экстремали в регулярном и сингулярном случаях. Теорема Гильберта.
Случаи упрощения уравнений Эйлера. Примеры.
Простейшая вариационная задача с подвижными границами. Выражение для дифференциала по параметру.
Простейшая задача с подвижными границами. Необходимые условия экстремума для случая свободных границ и условия трансверсальности.
Экстремали с изломами. Условия Вейерштрасса - Эрдмана.
Простейшие задачи с ограничениями. Условия в точках сопряжения экстремалей и границ.
Вторая вариация функционала. Необходимое условие Лежандра.
Достаточные условия слабого относительного экстремума.
Достаточные условия сильного относительного экстремума.
Необходимые условия Вейерштрасса сильного относительного экстремума.
Принцип минимума в задачах на сильный экстремум.
Простейшая вариационная задача с несколькими неизвестными. Необходимое условие экстремума. Регулярные экстремали.
Каноническая форма системы дифференциальных уравнений Эйлера. Задача с угловыми точками и условия Вейерштрасса - Эрдмана.
Незакреплённые границы в задаче с неизвестными функциями. Условия на свободных границах и условия трансверсальности.
Метод (правило) множителей Лагранжа в конечномерной задаче на условный экстремум.
Вариационная задача Лагранжа на условный экстремум.
Задача Лагранжа со связями в виде системы о.д.у. . Частная ситуация с функционалом $int_{a}^{b}F[t,x(t)]dt$ .
Метод (правило) множителей Лагранжа в изопериметрических задачах.
Задача об управлении ракетой как типовая задача теории оптимального управления.
Постановка простейшей задачи поиска оптимального программного управления и её сведение к вариационной задаче на условный экстремум.
Два пути решения простейшей задачи оптимального программного управления, как вариационной задачи на условный экстремум.
Классификация задач по типу функционала. О взаимосвязи задач Лагранжа, Майера и Больца.
Постановка задачи Больца о поиске оптимального программного управления. Необходимое условие экстремума по параметру $\epsilon$ .
Задача Больца о поиске оптимального программного управления. Необходимые условия экстремума.
Задача Больца о поиске оптимального программного управления. Каноническая форма необходимых условий экстремума.
Оптимальное демпфирование переходных процессов по отношению к функции. Задача об оптимальном быстродействии.
Связь задач оптимального демпфирования и минимизации интегральных функционалов.
Принцип Вейерштрасса. Игольчатая вариация управления. Формулировка и схема доказательства основной теоремы.
Принцип максимума. Формулировка теоремы. Сравнение с принципом Вейерштрасса по практическому применению.

Вопросы к экзамену по курсу Теория управления, часть 1 - Вариационные методы теории оптимального управления

Вопросы к экзамену по курсу
Теория управления, часть 1 -
Вариационные методы теории оптимального управления