Вопросы к экзамену по курсу
Теория управления, часть 1 -
Вариационные методы теории оптимального управления
2-й курс, весенний семестр 2005-2006 учебного года
- Введение: общее представление о теории управления.
- Введение: вопросы оптимизации в теории управления.
- Примеры содержательных задач о поиске экстремума интегрального функционала (аппроксимации, брахистохрона, минимальная поверхность вращения).
- Понятие функционала. Функционалы в метрических и линейных пространствах.
- Формализованные задачи вариационного исчисления. Пространство
: норма, метрика, близость элементов. Классификация экстремумов.
- Элементы дифференциального исчисления в ЛНП: производная по направлению, первая вариация функционала. Примеры.
- Элементы дифференциального исчисления в ЛНП: дифференцируемость по Гато и Фреше. Дифференциал Фреше линейного непрерывного функционала.
- Сильная дифференцируемость функционала
.
- Условия локального экстремума функционалов в ЛНП.
- Простейшая основная задача вариационного исчисления. Необходимое условие экстремума.
- Основные леммы классического вариационного исчисления (Лагранжа, Дюбуа-Реймона).
- Уравнение Эйлера (в двух формах).
- Экстремали в регулярном и сингулярном случаях. Теорема Гильберта.
- Случаи упрощения уравнений Эйлера. Примеры.
- Простейшая вариационная задача с подвижными границами. Выражение для дифференциала по параметру.
- Простейшая задача с подвижными границами. Необходимые условия экстремума для случая свободных границ и условия трансверсальности.
- Экстремали с изломами. Условия Вейерштрасса - Эрдмана.
- Простейшие задачи с ограничениями. Условия в точках сопряжения экстремалей и границ.
- Вторая вариация функционала. Необходимое условие Лежандра.
- Достаточные условия слабого относительного экстремума.
- Достаточные условия сильного относительного экстремума.
- Необходимые условия Вейерштрасса сильного относительного экстремума.
- Принцип минимума в задачах на сильный экстремум.
- Простейшая вариационная задача с несколькими неизвестными. Необходимое условие экстремума. Регулярные экстремали.
- Каноническая форма системы дифференциальных уравнений Эйлера. Задача с угловыми точками и условия Вейерштрасса - Эрдмана.
- Незакреплённые границы в задаче с неизвестными функциями. Условия на свободных границах и условия трансверсальности.
- Метод (правило) множителей Лагранжа в конечномерной задаче на условный экстремум.
- Вариационная задача Лагранжа на условный экстремум.
- Задача Лагранжа со связями в виде системы о.д.у.
. Частная ситуация с функционалом
.
- Метод (правило) множителей Лагранжа в изопериметрических задачах.
- Задача об управлении ракетой как типовая задача теории оптимального управления.
- Постановка простейшей задачи поиска оптимального программного управления и её сведение к вариационной задаче на условный экстремум.
- Два пути решения простейшей задачи оптимального программного управления, как вариационной задачи на условный экстремум.
- Классификация задач по типу функционала. О взаимосвязи задач Лагранжа, Майера и Больца.
- Постановка задачи Больца о поиске оптимального программного управления. Необходимое условие экстремума по параметру
.
- Задача Больца о поиске оптимального программного управления. Необходимые условия экстремума.
- Задача Больца о поиске оптимального программного управления. Каноническая форма необходимых условий экстремума.
- Оптимальное демпфирование переходных процессов по отношению к функции. Задача об оптимальном быстродействии.
- Связь задач оптимального демпфирования и минимизации интегральных функционалов.
- Принцип Вейерштрасса. Игольчатая вариация управления. Формулировка и схема доказательства основной теоремы.
- Принцип максимума. Формулировка теоремы. Сравнение с принципом Вейерштрасса по практическому применению.