Топологические свойства множества Парето
Рассмотрим задачу максимизации векторного критерия на множестве возможных точек
. Пусть
означает образ множества
при отображении
.
Напомним, что точка называется эффективной (Парето-оптимальной) относительно
на множестве
, если не существует такой допустимой точки
, что выполнено
и
;
собственно эффективной (оптимальной по Джеофриону) относительно на множестве
, если
эффективна и существует такая положительная константа
, что для всякого
и каждого
, при которых
, и некоторого
, такого что
выполнено неравенство
.
В случае, когда точка является эффективной (слабо эффективной или собственно эффективной), вектор
называют эффективным (слабо эффективным или собственно эффективным) вектором.
Обозначим посредством и
множество эффективных и собственно эффективных точек, а через
и
множество эффективных и собственно эффективных векторов, т.е.
и
.
Теорема 1 (1982, [I,1]). Предположим, что множество замкнуто и существуют такие положительные числа
, что для некоторой
и всех
имеет место неравенство
Тогда множество плотно в множестве
, т.е.
где черта сверху обозначает операцию замыкание множества.
Теорема 2 (1982, [I,1]). Предположим, что множество выпукло и замкнуто. Тогда имеют место включения (1).
Теорема 3 (1982, [I,1]). Предположим, что множество выпукло, все компоненты векторной функции
вогнуты и непрерывны на множестве
и множество
замкнуто. Тогда имеют место включения (1). Более того,
где
Теорема 4 (1982, [I,1]). Пусть множество выпукло и компактно, все компоненты векторной функции
вогнуты и непрерывны на
, причем по крайней мере одна компонента векторной функции
строго вогнута. Тогда имеют место включения