zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Структура » Преподаватели  » Ногин В.Д.  » Топологические свойства множества Парето

Топологические свойства множества Парето

Рассмотрим задачу максимизации векторного критерия f = (f_1,f_2, \dots ,f_m) на множестве возможных точек X, \ X \subset \mathbb{R}^n \,. Пусть Y=f (X) \subset \mathbb{R}^m\, означает образ множества X\, при отображении f\, .

Напомним, что точка x^* \in X называется эффективной (Парето-оптимальной) относительно f \, на множестве X\, , если не существует такой допустимой точки x \in X, что выполнено

f_{i}(x) \ \underline{\underline{>}} \ f_{i}(x^*), \ i=1,2, \dots ,m, и f(x) \ne f(x^*);

собственно эффективной (оптимальной по Джеофриону) относительно f \, на множестве X\, , если x^*\, эффективна и существует такая положительная константа M\, , что для всякого x \in X и каждого i\, , при которых f_{i}(x) > f_{i}(x^*)\,, и некоторого j\, , такого что f_{j}(x) < f_{j}(x^*),\, выполнено неравенство

\frac{ f_{i}(x) - f_{i}(x^*)}{ f_{j}(x^*) - f_{j}(x)} \ \underline{\underline{<}} \ M.

В случае, когда точка x^* \in X является эффективной (слабо эффективной или собственно эффективной), вектор y^* =f(x^*) \in Y\, называют эффективным (слабо эффективным или  собственно эффективным) вектором.

Обозначим посредством P_f(X)\, и G_f(X)\, множество эффективных и собственно эффективных точек, а через P(Y)\, и G(Y)\, множество эффективных и собственно эффективных векторов, т.е. P(Y)=f(P_f(X))\, и G(Y)=f(G_f(X))\, .

Теорема 1 (1982, [I,1]). Предположим, что множество Y\, замкнуто и существуют такие положительные числа \mu _1, \mu_2, \dots ,\mu _m, \ \ \sum_{i=1}^m \mu _i=1, что для некоторой const\, и всех \ x \in X имеет место неравенство

\sum_{i=1}^m \mu _i f_i(x) \ \underline{\underline{<}} \ const .

Тогда множество G(Y)\, плотно в множестве P(Y)\, , т.е.

G(Y) \subset P(Y) \subset \overline {G(Y)}  (1)

где черта сверху обозначает операцию замыкание множества.

Теорема 2 (1982, [I,1]). Предположим, что множество Y\, выпукло и замкнуто. Тогда имеют место включения (1).

Теорема 3 (1982, [I,1]). Предположим, что множество X\, выпукло, все компоненты векторной функции f \, вогнуты и непрерывны на множестве X\, и множество Y\, замкнуто. Тогда имеют место включения (1). Более того,

Y_> \subset P(Y) \subset \overline {Y} _>

где 

Y_> = \left \{ y^* \in Y : \ \sum _{i=1}^m \mu _i y_i^* = \max _{y \in Y} \sum _{i=1}^m \mu _i y_i, \ \ \quad \exists \ \mu _1, \mu _2, \dots , \mu _m > 0, \ \quad \sum _{i=1}^m \mu _i =1 \right \}.

Теорема 4 (1982, [I,1]). Пусть множество X\, выпукло и компактно, все компоненты векторной функции f \, вогнуты и непрерывны на X\, , причем по крайней мере одна компонента векторной функции f \, строго вогнута. Тогда имеют место включения

G_f(X) \subset P_f(X) \subset \overline {G_f(X)}.