Теоремы двойственности
Пусть две числовые векторные функции определены на множестве
и
Введем векторную функцию Лагранжа (см. [I, 1], [III, 2]) и множества
где
. Для векторов
здесь приняты следующие обозначения
или
по крайней мере для одного
Напомним, что называют максимальным элементом множества
, если
называют минимальным элементом множества
, если
Введем множество всех максимальных элементов множества
и множество
всех минимальных элементов множества
.
Прямая задача. Найти множество .Двойственная задача. Найти множество
.
Теорема 1 (1977, [I, 1], [III, 2]).
Теорема 2 (1977, [I, 1], [III, 2]). Предположим, что множество выпукло, все компоненты непрерывных векторных функций
вогнуты на нем и выполняется условие регулярности Слейтера, т.е. найдется такой вектор
, что
Пусть имеет место хотя бы одно из следующих условий:
(i) множества эффективных и собственно эффективных точек совпадают, т.е. ( см. [I, 1]);
(ii) все функции строго вогнуты на множестве
;(iii) множества
замкнуты и замыкание множества
является подмножеством множества
.
Тогда
Теорема 3 (1977, [I, 1], [III, 2]). Пусть множество выпукло, все компоненты непрерывных векторных функций
вогнуты на нем, имеет место условие регулярности Слейтера и множество
замкнуто. Тогда
Теорема 4 (1977, [I, 1], [III, 2]). При выполнении предположений предыдущей теоремы имеет место включение
Определенные теоремы двойственности получены (см. [I, 1], [III, 2]) для следующих двух случаев
(i) все функции вогнуты и дифференцируемы
(ii) все функции линейны.
Установлено, что предложенная двойственная конструкция представляет собой прямое обобщение известного двойственного подхода Гейла, Куна и Таккера (см. [I, 1], [III, 2]), развитого для случая линейных векторных функций .