zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Структура » Преподаватели  » Ногин В.Д.  » Теоремы двойственности

Теоремы двойственности

Пусть две числовые векторные функции f = (f_1,f_2, \dots ,f_m), \ \ g=(g_1,g_2, \dots ,g_k) определены на множестве D \subset \mathbb{R}^n\, и X = \left \{ x \in \mathbb{R}^n  : \ \ g_j(x) \ \underline{\underline{>}} \ 0, \ \  j=1,2, \dots ,k \right \}, Y=f(X).

Введем векторную функцию Лагранжа (см. [I, 1], [III, 2]) L(x, \lambda)=(f_1(x)+\sum_{i=1}^{k}\lambda _jg_j(x), f_2(x)+\sum_{i=1}^{k}\lambda _jg_j(x), \dots , f_m(x)+\sum_{i=1}^{k}\lambda _jg_j(x)) и множества Q= \bigcup _{x \in D} Q(x), \ \ \ \ \ Q(x)=\bigcap _{\lambda  \underline{\underline{>}}\mathbf{0} } \left \{ q \in \mathbb{R}^m : \ q  \underline{\underline{<}} L(x, \lambda)\right \}, H= \bigcup _{\lambda \underline{\underline{>}}  \mathbf{0}} H(\lambda), \ \ \ \ \ H(\lambda )=\bigcap _{x \in D} \left \{h \in \mathbb{R}^m : \ h => L(x, \lambda) \right \} где \lambda =(\lambda _1, \lambda _2, \dots , \lambda _k). Для векторов a,b \in \mathbb{R}^m здесь приняты следующие обозначения

a \underline{\underline{>}}  b \ \ \Longleftrightarrow \ \ a_i \ \underline{\underline{>}} \  b_i , \ \ \ i=1,2, \dots , m,

a => b \ \ \Longleftrightarrow \ \ a=b или a_i > b_i\, по крайней мере для одного i \in \left \{ 1,2, \dots ,m \right \}

Напомним, что q^* \in Q\, называют максимальным элементом множества Q\, , если

q \ \underline{\underline{>}} \ q^*, \ \ \ q \in Q  \ \Longrightarrow \ q=q^*,

h^* \in H\, называют минимальным элементом множества H\, , если

h  \ \underline{\underline{<}} \ h^*, \ \ \ h \in H  \ \Longrightarrow \ h=h^*.

Введем множество Max \, Q\, всех максимальных элементов множества Q\, и множество Min \, H\, всех минимальных элементов множества H\, .

Прямая задача. Найти множество Max \, Q\, .Двойственная задача. Найти множество Min \,H\,.

Теорема 1 (1977, [I, 1], [III, 2]). Max \,Q \cap Min \, H = Q \cap H.

Теорема 2 (1977, [I, 1], [III, 2]). Предположим, что множество D\, выпукло, все компоненты непрерывных векторных функций f, \ g\, вогнуты на нем и выполняется условие регулярности Слейтера, т.е. найдется такой вектор \hat{x} \in X\,, что g_j( \hat{x} )>0, \ \  j=1,2, \dots , k. Пусть имеет место хотя бы одно из следующих условий:

(i) множества эффективных и собственно эффективных точек совпадают, т.е. P(Y)=G(Y)\, ( см. [I, 1]);
(ii) все функции f_1,f_2, \dots ,f_m строго вогнуты на множестве D\, ;(iii) множества D, Y\, замкнуты и замыкание множества Min \,H\, является подмножеством множества H\, .

Тогда

Max \,Q \subset Min \,H.

Теорема 3 (1977, [I, 1], [III, 2]). Пусть множество D\, выпукло, все компоненты непрерывных векторных функций f, \ g\, вогнуты на нем, имеет место условие регулярности Слейтера и множество Q\, замкнуто. Тогда

Q \cup H = \mathbb{R} ^m.

Теорема 4 (1977, [I, 1], [III, 2]). При выполнении предположений предыдущей теоремы имеет место включение

Min \,H \subset Max \, Q.

Определенные теоремы двойственности получены (см. [I, 1], [III, 2]) для следующих двух случаев
(i) все функции f_1,f_2, \dots ,f_m, \ \ g_1,g_2, \dots ,g_k\, вогнуты и дифференцируемы
(ii) все функции f_1,f_2, \dots ,f_m, \ \ g_1,g_2, \dots ,g_k\, линейны.

Установлено, что предложенная двойственная конструкция представляет собой прямое обобщение известного двойственного подхода Гейла, Куна и Таккера (см. [I, 1], [III, 2]), развитого для случая линейных векторных функций f, \ g\,.