Теоремы существования
Рассмотрим задачу максимизации векторного критерия на множестве возможных точек
. Пусть
означает образ множества
при отображении
.
Напомним, что точка называется эффективной (Парето-оптимальной) относительно
на множестве
, если не существует такой допустимой точки
, что выполнено


собственно эффективной (оптимальной по Джеофриону) относительно на множестве
, если
эффективна и существует такая положительная константа
, что для всякого
и каждого
, при которых
, и некоторого
, такого что
выполнено неравенство

Теорема 1 (1980, [I, 1], [III, 5]). Пусть все компоненты векторной функции вогнуты и непрерывны на непустом выпуклом замкнутом множестве
и множество
замкнуто. Собствено эффективные точки относительно
на множестве
существуют тогда и только тогда, когда найдутся такие положительные числа
, и константа
, что для всех
имеет место неравенство

Следствие 1 (1980, [I, 1], [III, 5]). В условиях выполнения предположений теоремы 1 множество эффективных точек непусто тогда и только тогда, когда непусто множество собственно эффективных точек.
Множество эффективных точек называют внешне устойчивым [I, 1], если для любого найдется такая эффективная точка
, что
.
Следствие 2 (1980, [I, 1], [III, 5]). В условиях выполнения теоремы 1 множество эффективных точек является внешне устойчивым.
Далее рассмотрение ограничим случаем линейных критериев:

где через обозначается скалярное произведение двух
-мерных векторов, т.е.

Обозначим символом выпуклый конус, порожденный векторами
, символом
аффинную оболочку этого конуса,
- его относительную внутренность,
- рецессивный конус выпуклого множества
и
- поляру рецессивного конуса (по поводу этой терминологии см. книгу Рокафеллара Р. Выпуклый анализ. - М.: Мир, 1973).
Теорема 2 (1975, [III, 5]). Пусть вектор функция линейна и имеет вид (1), множество
непусто, выпукло и замкнуто. Предположим, что выполняется по крайней мере одно из следующих двух условий:
(i) (это условие заведомо выполняется, если
);
(ii) для любого линейная функция
достигает максимума на множестве
.
Тогда собственно эффективные точки относительно на множестве
существуют тогда и только тогда, когда
.