Необходимые и достаточные условия для задачи векторной максимизации
Рассмотрим
задачу максимизации векторного критерия на множестве
возможных точек
. Как обычно,
пусть
означает образ
множества
при отображении
.
Напомним, что точка называется
эффективной (Парето-оптимальной) относительно
на множестве
, если
не существует такой допустимой точки
,
что выполнено
и
;
слабо эффективной
(оптимальной про Слейтеру) относительно
на множестве
, если
не существует такой допустимой точки
,
что выполнено
;
собственно эффективной
(оптимальной по Джеофриону)
относительно на множестве
, если
эффективна
и существует такая положительная константа
, что для
всякого
и каждого
, при которых
, и некоторого
, такого
что
выполнено
неравенство
.
В случае, когда точка является эффективной
(слабо эффективной или собственно эффективной), вектор
называют
эффективным (слабо эффективным или собственно эффективным)
вектором.
Теорема 1 ( 1979, [I, 1], с. 76-77).
Точка эффективна тогда
и только тогда, когда для каждого
найдутся положительные числа
(в общем случае зависящие от ), такие,
что
Теорема 2 (1979, [I, 1], с. 77-79).
Точка собственно
эффективна тогда и только тогда, когда существует конечный набор
положительных
векторов
таких, что для всякого найдется номер
, при котором
имеет место неравенство
Введем векторов
размерности
с компонентами
Посредством будем обозначать
скалярное произведение двух векторов, т.е.
Приведенная выше теорема 2 и теорема Ю.Б. Гермейера влекут
Следствие
(1982, [I, 1], с. 83). Пусть
. Допустимый
вектор
является
собственно эффективным тогда и только тогда, когда найдутся
положительное число
и положительные в сумме равные единице числа
, что выполняется
равенство
в котором векторы имеют вид
(1).
Теорема 3 (1982, [I, 1], с. 83). Вектор
является собственно эффективным тогда и только тогда, когда
найдется такое положительное число
, что этот вектор
слабо эффективен относительно линейной вектор-функции
на множестве
, где
векторы
определены
равенством (1).
Введем полиэдральный (многогранный) конус
с векторами вида (1).
Теорема 4 (1982, [I, 1], с. 84-85).
Вектор собственно
эффективен относительно
на
множестве
тогда
и только тогда, когда существует положительное
,
при котором
Замечание. При дополнительном предположении, что множество состоит из конечного числа элементов, словосочетание "собственно эффективный" в приведенных выше теоремах 2 - 4 может быть заменено на прилагательное <эффективный>.
Теорема 5 (1982, [I, 1], с. 106). Предположим, что функции положительны, а функции
вогнуты на множестве
. Точка
слабо эффективна относительно
тогда и только тогда, когда существуют такие положительные числа
что выполняется равенство
Напомним, что функция называется квазивогнутой на множестве
, если неравенство
имеет место для всех и всех
.
Теорема 6 (1976, [I, 1], с. 106-107). Пусть -мерная векторная функция
,
является (покомпонентно) квазивогнутой на выпуклом множестве
. Точка
слабо эффективна относительно
тогда и только тогда, когда она слабо эффективна относительно некоторой не более чем
-мерной векторной функции, составленной из компонент
.
Напомним, что полиэдрально вогнута, если
Теорема 7 (1982, [I, 1], с. 117). Пусть
и все функции полиэдрально вогнуты на
. Тогда множество эффективных точек совпадает с множеством собственно эффективных точек.
Рассмотрим числовую функцию , определенную на
. Будем предполагать, что она удовлетворяет локальному условию Липшица, т.е. для всякого ограниченного непустого множества
существует неотрицательная константа
, при которой
для всех . У такого рода функции
градиент
существует почти всюду (т.е. за исключением множества точек меры нуль).
Рассмотрим произвольную последовательность точек , в которых градиенты
существуют, причем
. Если существует предел
, то обозначим его
. Выпуклую оболочку множества всех таких пределов будем обозначать
и называть обобщенным градиентом функции
в точке
. Можно проверить, что множество
является непустым выпуклым компактным множеством, причем если
дифференцируема в точке
, то
.
Зафиксируем две векторные функции с компонентами, удовлетворяющими локальному условию Липшица на
, и введем множество допустимых точек
Тем самым, далее будем иметь дело с задачей многоцелевого программирования. Для точки посредством
будем обозначать множество активных в точке ограничений.
Теорема 8 (1982, [I, 1], 133-134). Пусть точка слабо эффективна относительно
на множестве
. Тогда найдутся векторы
и обобщенные градиенты
такие, что выполнено равенство
Если, кроме того, векторы линейно независимы, то
Напомним, что предел
определяет производную функции в точке
по направлению
.
Пусть числовая функция определена на
и удовлетворяет локальному условию Липшица. Обобщенная производная функции
в точке
по направлению
, определяется равенством
Функцию будем называть обобщенно псевдовогнутой, если для всех
, таких что
, имеет место неравенство
Теорема 9 (1982, [I, 1], с. 135). Предположим, что все функции обобщенно псевдовогнуты, а все функции
квазивогнуты на
. Пусть равенство (2) имеет место для некоторых
, причем
для всех
и
. Тогда точка
слабо эффективна.