zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Структура » Преподаватели  » Ногин В.Д.  » Понятие r-оптимальности

Понятие r\, -оптимальности

Рассмотрим задачу максимизации векторного критерия f = (f_1,f_2, \dots ,f_m) на множестве возможных точек X \subset \mathbb{R}^n \,.

Напомним, что точка x^* \in X называется эффективной (парето-оптимальной) относительно f \, на множестве X\, , если не существует такой допустимой точки x \in X, что выполнено

f_{i}(x) \ \underline{\underline{>}} \ f_{i}(x^*), \  i=1,2, \dots ,m, и  f(x) \ne f(x^*);

Определение (1976, [III, 1]). Точка x^* \in  X\, называется r\,-оптимальной r \in \left \{ 1,2, \dots ,m \right \}, относительно f\, , если она является эффективной (парето-оптимальной) относительно любой r\, -мерной вектор-функции, образованной из некоторых r \, компонент исходной вектор-функции f=(f_1, f_2, \dots ,f_m)\,.

Нетрудно понять, что 1\, -оптимальная точка является точкой одновременного максимума всех компонент f_1,f_2, \dots ,f_m. Это - своего рода "идеальное" решение задачи многокритериальной максимизации (которое, как правило, не существует). С другой стороны, m\, -оптимальная точка совпадает с эффективной точкой. При 1< r < m \ \ \  \ r \,-оптимальная точка занимает некоторое промежуточное положение между <идеальным> и  парето-оптимальным решениями. Причем чем меньше r\, , тем "ближе" в концептуальном смысле эта точка к "идеальному" решению многокритериальной задачи.
По этой причине в качестве "наилучшего" компромиссного решения задачи многокритериальной максимизации предлагается использовать r\, -оптимальную точку с наименьшим возможным r\, , при котором хотя бы одна r\, -оптимальная точка существует.
В работе [8] приведен пример практической задачи, в которой вполне естественно использовать предлагаемое понятие r\, -оптимальности, а также получены некоторые достаточные условия существования r\, -оптимальных точек в случае линейных критериев, заданных на выпуклом множестве возможных решений X \subset \mathbb{R}^n \,.