zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Структура » Преподаватели  » Ногин В.Д.  » Заметки о математике на рубеже веков

Заметки о математике на рубеже веков
В.Д. Ногин

Математика - одна из самых древних наук. Ее история насчитывает около трех тысячелетий, и каждый век вносил свой особый вклад в развитие математики. Некоторые из них характеризуются появлением принципиально новых направлений, которые потом длительное время привлекали внимание исследователей и практиков, тогда как другие - сопровождались разрешением ранее сформулированных сложных проблем.

Завершилось двадцатое столетие и второе тысячелетие с Рождества Христова. Сегодня с полным основанием можно подвести итоги ушедшего века и попробовать краешком глаза заглянуть в следующее тысячелетие. Какими свершениями знаменателен XX век для математики? Какие новые теории возникли в этом столетии и какие известные проблемы были успешно решены? Как видоизменился облик самой математики и изменился ли он вообще?

Не претендуя на исчерпывающую полноту и абсолютную объективность, попробуем, насколько это окажется возможным, ответить на поставленные вопросы. Забегая вперед, отметим, что прошедший век знаменуется рядом блистательных достижений в математике. Среди них - появление новых важных и интересных направлений и теорий, а также - решение некоторых знаменитых проблем, доставшихся в наследство с прошлых времен. Кроме того, в двадцатом веке математика прошла ряд трудных испытаний, сопровождающих ее бурный рост, но благополучно выходит из кризиса с готовностью и впредь оставаться на доброй службе у человечества.

В конце прошлого века благодаря работам немецкого математика Г. Кантора зародилась теория множеств, но только в XX веке она прочно встала на ноги и заняла центральное место в математике. Известна попытка группы талантливых французских математиков, объединившихся под псевдонимом Н. Бурбаки, на фундаменте теории множеств построить современный небоскреб математики. Хотя эта попытка и не была доведена до логического завершения (и вряд ли будет доведена из-за непрекращающегося строительства этого небоскреба, уходящего верхними этажами в облака), тем не менее, она весьма поучительна и наглядно свидетельствует о первостепенной роли, которую призвана играть теория множеств на беспредельных пространствах математики.

В начале XX века в теории множеств были открыты так называемые антиномии, т. е. противоречия, показавшие, что нельзя произвольным образом объединять объекты в "множества". Так, например, логически противоречивым оказалось понятие множества всех множеств. Попытки преодолеть возникшие трудности были предприняты на пути превращения теории множеств в аксиоматическую науку наподобие геометрии. Впервые это было выполнено в работе немецкого математика Э. Цермело в 1908 году, а позже система аксиом Цермело была усовершенствована израильским математиком А. Френкелем. В настоящее время система аксиом Цермело-Френкеля - наиболее часто используемая специалистами по теории множеств. Эта система аксиом не допускает к рассмотрению множество, которое содержит все множества, и тем самым является надежным основанием для построения многих важных математических теорий.

Проблема обеспечения непротиворечивости аксиоматически построенной теории множеств выдвинул и пытался решить ярчайший представитель немецкой математической школы Д. Гильберт. Его основная мысль состояла в полной формализации аксиоматической теории множеств, трактовке ее как некоторой формальной системы. Цель, поставленная Д. Гильбертом, оказалась недостижимой, что было доказано австрийским математиком К. Гёделем в 1931 году. Однако большой интерес представляет введенный Д. Гильбертом новый раздел математики - метаматематика, часть конструктивной математики.

В математическом мире широко известны 23 проблемы Гильберта, сформулированные им в 1900 году. Вокруг этих проблем на протяжении всего века были сосредоточены творческие усилия многих математиков различных школ и направлений. Подавляющее большинство из этих проблем к настоящему времени "закрыты", т. е. получили либо положительное, либо отрицательное решение. В частности, алгоритмическую неразрешимость 10-й проблемы Гильберта в 1970 году установил талантливый представитель ленинградской школы математиков Ю.В. Матиясевич. Развитие идей, связанных с содержанием поставленных Д. Гильбертом проблем, составило значительную часть математики нашего столетия.

Подобно тому, как ствол дерева порождает, поддерживает и питает многочисленные плодоносящие ветви, так теория множеств дала жизнь таким фундаментальным дисциплинам, как теория функций вещественной переменной, общая алгебра и современный функциональный анализ.

Рука об руку с теорией множеств развивалась и крепла математическая логика. Первые работы в этой области, принадлежащие британским математикам Дж. Булю и О. де Моргану, появились в середине прошлого века, но именно начало XX века и первая его половина характеризуется интенсивным становлением математической логики как одного из фундаментальных разделов математики. Современный вид математическая логика приобрела благодаря мощным усилиям уже упоминавшихся Д. Гильберта и К. Гёделя, а также англичанина А. Тьюринга, советского математика П.С. Новикова, американца П. Коэна и др.

Как известно, идея непрерывности выражает коренное свойство пространства и времени, и потому имеет неоценимое значение для естествознания. Хотя понятия предела и непрерывности восходят к древности, родоначальником специального раздела математики, называемого топологией, который посвящен детальному изучению свойства непрерывности, можно считать блистательного немецкого математика XIX века Георга Римана. Современная общая топология сформировалась в начале двадцатого века под воздействием мощных усилий Ф. Хаусдорфа - соотечественника Римана. В настоящее время одним из фундаментальных понятий математики стало топологическое пространство. Следует отметить, что немалый вклад в развитие топологии внес известный советский математик П.С. Александров.

В настоящее время практически ни один инженер и экономист не может при проектировании или прогнозировании обойтись без понятий и методов теории вероятностей, представляющей собой формализованный взгляд на природу случайных явлений нашего мира. Хотя возникновение теоретико-вероятностных представлений восходит к работам начала семнадцатого века швейцарского ученого Я. Бернулли, только в тридцатые годы нашего столетия советский математик А.Н. Колмогоров заложил прочные аксиоматические основы этой теории, находящей многочисленные приложения в самых различных сферах человеческой деятельности. На базе теории вероятностей возникли теория случайных процессов и теория массового обслуживания, окрепла и приобрела современный вид математическая статистика.

В предшествующие века математика считалась прежде всего величайшим творением человеческого разума, предназначенным для исследования Природы. В XX веке некоторые крупные математики пришли к выводу, что заниматься решением проблем, так или иначе связанных с реальным миром, совершенно необязательно. Широкий размах математических и естественнонаучных исследований не позволял им одинаково свободно чувствовать себя и в математике, и в естественных науках. В этой ситуации некоторые из них решили ограничить сферу своих интересов рамками так называемой "чистой" математики. По этому поводу признанный специалист по математической физике Дж. Синж в 1944 году заметил: "Итак, окончен бал. Сколько радости было, пока он длился!.. Природа по-прежнему продолжает подбрасывать глубокие проблемы, но они уже не доходят до математиков. В ожидании противника они сидят в своей башне из слоновой кости, вооруженные до зубов, но противник так и не появляется. Природа не ставит перед математиками четко сформулированных проблем. Добыть ясно поставленную задачу можно, лишь вооружившись киркой и лопатой, и тот, кто боится испачкать руки, никогда сколько-нибудь стоящей задачи не найдет".

Известный популяризатор математики М. Клайн один из разделов своей замечательной книги "Математика. Утрата определенности" так и назвал: "Математика в изоляции". Он пишет: "Талейран заметил однажды, что идеалист не может долго оставаться идеалистом, если он не реалист, и реалист не может долго оставаться реалистом, если он не идеалист. Применительно к математике высказывание Талейрана можно истолковать так, что реальные проблемы необходимо идеализировать и изучать абстрактно, но деятельность идеалиста, игнорирующего реальность, не жизнеспособна. Математика должна прочно стоять на земле и уходить головой в облака. Подлинную, живую, содержательную математику рождает сочетание абстракции и конкретных проблем. Математики могут воспарять в облака абстрактного мышления, но, подобно птицам, за пищей должны возвращаться на землю. Чистую математику можно сравнить с тортом, подаваемым на десерт. Он приятен на вкус и даже способен в какой-то мере насытить нас, но организм не может существовать только на тортах - без "мяса и картошки" реальных проблем, составляющих основу его питания".

Последнее слово в споре между "чистыми" и "нечистыми" математиками принадлежит самой действительности. А она такова, что в XX веке прочно утвердился термин прикладная математика, в вузах появилась соответствующая специальность, а в последней трети нашего столетия при крупных университетах были открыты факультеты прикладной математики, которые до сих пор продолжают активно готовить специалистов, пользующихся спросом в различных областях науки и техники. В частности, впервые в СССР такой факультет был создан в Ленинградском университете в 1969 году под руководством известного специалиста в области теории устойчивости и теории управления В.И. Зубова.

Целые разделы классической математики приобрели ярко выраженную практическую направленность и нашли успешное применение при решении ряда сложных практических проблем. Прежде всего, это относится к теории экстремальных задач (теории оптимизации), берущей свое начало с античных времен. В XX веке появился ее новый раздел - математическое программирование, включающий линейное, выпуклое, дискретное, динамическое и стохастическое программирование. Знаменитый симплекс-метод решения канонической задачи линейного программирования во многих индустриальных странах помог справиться с рядом важных экономических проблем.

К теории экстремальных задач вплотную примыкает активно развивающаяся в последние три десятилетия теория принятия оптимальных решений, используемая во многих областях науки, техники и экономики.

Из недр теории динамических систем, появление которой обязано гению А. Пуанкаре и трудам выдающегося русского математика А.М. Ляпунова, на стыке с теорией экстремальных задач возникла теория (оптимального) управления, применение которой позволило человечеству совершить выход за пределы земного пространства, благополучно достичь Луны и приступить к непосредственному исследованию других планет Солнечной системы. Важнейшим инструментом решения различных задач оптимального управления по праву является знаменитый принцип максимума, сформулированный крупным советским математиком Л.С. Понтрягиным.

Сравнительно недавно своеобразное продолжение и развитие теория экстремальных задач получила в теории особенностей (теории катастроф), связанной с именами американца Х. Уитни, француза Р. Тома и отечественного математика В.И. Арнольда.

В дополнение к классическому математическому анализу в XX веке появился выпуклый анализ, основания которого были заложены в начале нашего века Г. Минковским, который в 1907-1908 годах дал геометрическую интерпретацию кинематики специальной теории относительности, введя так называемое пространство Минковского. Ему же принадлежит известная теорема об отделимости выпуклых множеств, являющаяся основным рабочим инструментом при исследовании, например, теоретических вопросов математического программирования как в конечномерных, так и в бесконечномерных пространствах.

Еще один вид анализа - нестандартный анализ, основные идеи которого восходят к немецкому ученому XVII-XVIII веков Г. Лейбницу, обрел свое право на существование и привлекает внимание многих математиков и преподавателей математики в самое последнее время.

С начала XX века "носилась в воздухе" идея создания математической теории конфликта (теории игр). Систематическое изложение математической теории игр появилось в сороковые годы и принадлежит оно известному американскому математику Дж. фон Нейману и экономисту О. Моргенштерну. К настоящему времени теория игр заметно разрослась и представляет собой специальный раздел математики, предметом которого является изучение определенных математических моделей принятия оптимальных решений в конфликтных ситуациях. Ее результаты находят применение при исследовании различных экономических и социальных явлений общества.

Более трехсот пятидесяти лет пытливый человеческий ум бился над доказательством знаменитой великой теоремы Ферма, утверждающей, что уравнение xn+yn=zn не имеет целых положительных решений x,y,z при n>2. И только совсем недавно, в последнем десятилетии XX века, завершающими усилиями англичан А. Уайлса и Р. Тейлора удалось окончательно с ней справиться.

Еще одна знаменитая проблема рухнула под натиском современных математиков в конце нашего столетия. Речь идет о проблеме четырех красок, первые сведения о которой относятся к середине прошлого века. Эта проблема формулируется следующим образом: действительно ли достаточно красок лишь четырех цветов для раскрашивания произвольной карты на плоскости таким образом, чтобы каждая страна была окрашена и при этом никакие две соседние страны не получили один и тот же цвет? Интересно, что для положительного решения проблемы четырех красок американцами К. Аппелем и В. Хакеном во второй половине семидесятых годов был использован принципиально новый, неизвестный до XX века способ доказательства - машинный, когда компьютер последовательно "просматривает" огромное число различных случаев, выполняя в каждом из низ проверку определенных условий. Первый вариант "доказательства" потребовал 1200 часов машинного времени, тогда как человеку на подобный "просмотр" не хватило бы всей его жизни.

О компьютере - гениальном изобретении XX века - следует поговорить особо. Невозможно переоценить значение этого творения пытливого человеческого разума. Например, известный отечественный математик Н.Н. Моисеев ставит изобретение компьютера в один ряд с такими достижениями человечества, как покорение огня и изобретение паровой машины. Уже первые скороспелые плоды применения компьютеров в различных областях человеческой деятельности, свидетелями которых мы являемся, не могут не произвести неизгладимого впечатления на самого закоренелого скептика. От захватывающих детских компьютерных игр до сложнейших роботов и целых заводов, управляемых электронным мозгом. А гигантские базы данных, доступные пользователю практически из любой точки земного шара благодаря всемирной сети Интернет?! Появилось даже специальное словосочетание виртуальная реальность для обозначения неизведанного безграничного пространства, которое компьютер распахнул перед изумленным человеком.

Многие ученые, писатели, композиторы, издатели, работники средств массовой информации уже не в состоянии представить свою профессиональную деятельность без компьютера, который стал незаменимым помощником в получении, обработке и хранении информации самого различного характера - от строгих колонок цифр до красочных копий полотен древних и современных мастеров кисти.

Несколько слов хочется сказать и о тесной связи компьютера с математикой. С одной стороны, бурное развитие таких математических разделов, как теория алгоритмов, теория автоматов и теория информации предопределили появление того устройства, которое впоследствии стали именовать компьютером. С другой стороны, по мере того, как это замечательное устройство обретало все большую мощь и развивало свои способности, возникали новые сложные математические проблемы. Они, в свою очередь, стимулировали появление и развитие таких новых разделов математики, как теория программирования, а также целой науки информатики, тесно связанной с математикой через понятие математической модели, математическую логику и теорию алгоритмов.

Сначала компьютер использовался исключительно для выполнения числовых расчетов (в то время его именовали электронно-вычислительной машиной - ЭВМ). После того, как в восьмидесятые годы компьютер "освоил" символьные вычисления, результатом его применения стал набор произвольных символов, в том числе цифр, функций (обозначаемых буквами того или иного алфавита), а также графических рисунков. Теперь простым нажатием клавиш клавиатуры компьютера с использованием соответствующих математических пакетов (например, таких, как MAPLE V, MATHCAD, MATHEMATICA и др.) можно легко вычислять всевозможные пределы, выполнять операции дифференцирования и интегрирования, оперировать с матрицами, аналитически и численно решать различные (в том числе и дифференциальные) уравнения и системы уравнений многих важных классов, строить графики функций одной и двух переменных и многое другое. Практически любая стандартная задача из курса математики рядового технического вуза может быть решена указанным выше простым способом.

Особую роль в настоящее время приобретает математическое моделирование. Находящееся на стыке со многими прикладными науками, это направление стремительно развивается и быстро обогащается новыми методами и подходами к исследованию самых различных явлений реального мира. В двадцать первом веке его ожидает блестящее будущее!

Если в недалеком прошлом математические модели использовались для исследования в основном физико-механических систем, то теперь область их применения существенно расширилась. Объектами математического моделирования стали биологические, экономические, экологические и социальные системы. Появились даже попытки моделировать историю. Компьютер при этом играет немаловажную роль, так как перечисленные системы отличаются необычайно высоким уровнем сложности и "вручную" проводить их изучение не представляется возможным.

С помощью современных мощных компьютеров осуществляются эксперименты планетарного масштаба, например, разыгрываются (в виртуальном пространстве) гигантские военные сражения с применением ядерного оружия или на основе математической модели биосферы строятся прогнозы земного климата, а также демографического развития и научно-технического прогресса.

Нет никаких сомнений в том, что взаимообогащение и взаимная поддержка математики и вычислительной техники продолжатся и далее. Совместно они способны решать сложнейшие интеллектуальные и народнохозяйственные задачи, помогать преодолевать экономические кризисы и обеспечивать дальнейшее устойчивое продвижение человечества к новым неизведанным вершинам на тернистом пути эволюции в следующем тысячелетии.