zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Структура » Преподаватели  » Курбатова Г. И.  » Монографии и уч.пособия  » Начала теории чисел
[book cover]

Начала теории чисел

Г.И. Курбатова


ПРЕДИСЛОВИЕ

В настоящем пособии излагается классический курс элементарной теории чисел, включающий в себя теорию делимости в кольце целых чисел и теорию сравнений, которая завершается в пособии теоремой Ферма (малой) и теоремой Эйлера.

Основной акцент делается на ясность изложения. Материал при этом расположен весьма наглядно, что улучшает восприятие текста. Приведено много полезных и разнообразных задач и упражнений, которые снабжены решениями. Для лучшего понимания доказательств в пособие включен небольшой раздел с элементами математической логики.

Имеется очень интересное и современное приложение классических результатов теории чисел (типа теоремы Эйлера) к криптографии -- так называемая "Схема алгоритма RSA", и, что очень важно, приводится математическое обоснование этого алгоритма.

Пособие несомненно будет полезно студентам математических факультетов, интересующимся компьютерными технологиями, а также школьникам старших классов физико-математических школ и лицеев.

Профессор
математико-механического
факультета СПбГУ
С.В. Востоков


ВВЕДЕНИЕ

Содержание учебного пособия составляет небольшую часть лекций и практических занятий по курсу "Высшая алгебра", которые автор читал в течение ряда лет на факультете прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета.

Пособие состоит из двух глав и приложения. Каждая глава завершается упражнениями и задачами, решения которых приведены в конце пособия. Это позволит начинающим познакомиться с приемами и формализмом доказательств.

В качестве иллюстрации необычайной востребованности теории чисел в современных прикладных задачах защиты информации рассмотрена система RSA шифрования с открытым ключом. Подробно излагается схема, математическое обоснование и алгоритм реализации системы RSA.

Учебное пособие не требует от читателя дополнительных знаний по алгебре, кроме обычного школьного курса. Оно может быть использовано также учителями и учащимися старших классов физико-математических школ и лицеев.

Автор искренне благодарен рецензентам - профессору математико-механического факультета СПбГУ С.В. Востокову и профессору факультета прикладной математики - процессов управления А.Ю. Утешеву - за внимательное прочтение рукописи и полезные замечания.

Большая благодарность И.И. Семеновой за помощь в оформлении рукописи.


ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В КОЛЬЦЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
  1. Свойства отношения делимости в кольце Z
  2. Деление с остатком в кольце целых чисел
  3. Наибольший общий делитель
  4. Свойства наибольшего общего делителя и взаимно простых чисел
  5. Алгоритм Эвклида
  6. Линейное представление наибольшего общего делителя
  7. Общий вид решения в целых числах уравнения ах + by =d
  8. Простые числа
  9. Решето Эратосфена
  10. Каноническое представление целых чисел
  11. Каноническое представление наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного, их связь ....
  12. Обобщение понятий наибольшего общего делителя, наименьшего общего кратного и взаимно простых чисел на п целых чисел
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 1
ГЛАВА 2. СРАВНЕНИЯ В КОЛЬЦЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
  1. Свойства сравнений
  2. Доказательства свойств сравнений
  3. Классы вычетов по модулю m
  4. Полная и приведенная системы вычетов
  5. Функция Эйлера
  6. Теорема Эйлера и малая теорема Ферма
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 2
ОБ ОДНОМ ПРИЛОЖЕНИИ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
  1. Схема алгоритма RSA
  2. Математическое обоснование
  3. Реализация алгоритма RSA
ПРИЛОЖЕНИЕ А
ПРИЛОЖЕНИЕ В
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
  1. Глава 1
  2. Глава 2
ЛИТЕРАТУРА