Вопросы по курсу «Дифференциальные уравнения»
1-ый семестр 2008-2009 уч. года.
- Поле направлений диф. уравнения 1-го порядка. Изоклины. Приближенное построение решений.
- Теорема Арцела.
- Ломаные Эйлера.
- Теорема Пеано.
- Теорема Пикара для ограниченного множества.
- Доказательство теоремы Пикара с помощью принципа сжатых отображений.
- теорема Пикара для неограниченного множества.
- Выводы из теоремы Пикара.
- Лемма Гронуолла.
- Продолжение решения за промежуток Пикара. Теорема Винтнера.
- Интеграл уравнения и его свойства.
- Неполные уравнения.
- Уравнения с разделяющимися переменными.
- Однородные уравнения.
- Линейные уравнения.
- Уравнение Бернулли.
- Уравнение Риккати.
- Уравнение в полных дифференциалах.
- Интегрирующий множитель.
- Уравнения, не разрешенные относительно производной.
- Неполные уравнения, не разрешенные относительно производной. Метод введения параметра. Уравнения Лагранжа и Клеро.
- Интегрирование уравнений n-го порядка.
- Линейная зависимость и независимость функций. Формула Остроградского-Лиувилля.
- Линейные однородные уравнения n-го порядка. Фундаментальная система решений.
- Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Теорема о структуре. Метод вариации произвольных постоянных.
- Интегрирование линейных однородных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами.
- Интегрирование линейных неоднородных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов.
- Метод Коши интегрирования линейных неоднородных уравнений.
- Уравнение Эйлера.
Дополнительные вопросы
- 1. Для уравнений 1-го порядка:
- а) формы записи уравнения;
б) формы записи решения;
в) определения решения, общего решения, частного решения, особого решения, решения в форме Коши, общего интеграла, интеграла, интегральной кривой;
г) постановка задачи Коши. - 2. Для уравнений n-го порядка:
- а) формы записи уравнения;
б) формы записи решения;
в) определения решения, общего решения, частного решения, особого решения, решения в форме Коши, общего интеграла, интегральной кривой, первого интеграла, промежуточного интеграла к-го порядка; фундаментальная система решений;
г) постановка задачи Коши;
д) постановка краевой задачи для уравнения 2-го порядка.
Литература
- Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.
- Еругин Н. П. Книга для чтения по общему курсу диф. уравнений.
- Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных диф. уравнений.