Вопросы по курсу «Дифференциальные уравнения»

1-ый семестр 2008-2009 уч. года.

Поле направлений диф. уравнения 1-го порядка. Изоклины. Приближенное построение решений.
Теорема Арцела.
Ломаные Эйлера.
Теорема Пеано.
Теорема Пикара для ограниченного множества.
Доказательство теоремы Пикара с помощью принципа сжатых отображений.
теорема Пикара для неограниченного множества.
Выводы из теоремы Пикара.
Лемма Гронуолла.
Продолжение решения за промежуток Пикара. Теорема Винтнера.
Интеграл уравнения и его свойства.
Неполные уравнения.
Уравнения с разделяющимися переменными.
Однородные уравнения.
Линейные уравнения.
Уравнение Бернулли.
Уравнение Риккати.
Уравнение в полных дифференциалах.
Интегрирующий множитель.
Уравнения, не разрешенные относительно производной.
Неполные уравнения, не разрешенные относительно производной. Метод введения параметра. Уравнения Лагранжа и Клеро.
Интегрирование уравнений n-го порядка.
Линейная зависимость и независимость функций. Формула Остроградского-Лиувилля.
Линейные однородные уравнения n-го порядка. Фундаментальная система решений.
Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Теорема о структуре. Метод вариации произвольных постоянных.
Интегрирование линейных однородных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами.
Интегрирование линейных неоднородных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов.
Метод Коши интегрирования линейных неоднородных уравнений.
Уравнение Эйлера.

Дополнительные вопросы

1. Для уравнений 1-го порядка:: а) формы записи уравнения;
б) формы записи решения;
в) определения решения, общего решения, частного решения, особого решения, решения в форме Коши, общего интеграла, интеграла, интегральной кривой;
г) постановка задачи Коши.
2. Для уравнений n-го порядка:: а) формы записи уравнения;
б) формы записи решения;
в) определения решения, общего решения, частного решения, особого решения, решения в форме Коши, общего интеграла, интегральной кривой, первого интеграла, промежуточного интеграла к-го порядка; фундаментальная система решений;
г) постановка задачи Коши;
д) постановка краевой задачи для уравнения 2-го порядка.

Литература

Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.
Еругин Н. П. Книга для чтения по общему курсу диф. уравнений.
Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных диф. уравнений.