zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Структура » Преподаватели » Атаева Н. Н. » Фрактальные множества

Фрактальные множества


Атаева Надежда


Оглавление

Комплексные числа

Во множестве натуральных чисел \mathbb{N} \, всегда выполнимы только сложение и умножение. Вычитание уже может приводить к числам отрицательным, а деление - к дробным.

Во множестве рациональных чисел \mathbb{Q} \, всегда выполнимы все четыре действия арифметики, но действие извлечения корня не всегда возможно.

Во множестве вещественных (действительных) чисел \mathbb{R}
\, извлечение корня возможно за исключением извлечения корней четной степени из отрицательных чисел.

Во множестве комплексных (мнимых) чисел \mathbb{C} \, всегда выполнимы все четыре действия арифметики (с сохранением всех аксиом), а также извлечение корня любой степени из любого комплексного числа. В результате выполнения этих действий над комплексными числами снова получаем комплексные числа. Кроме того, целый ряд задач, которые во множестве вещественных чисел оказывались неразрешимыми, получили простое и естественное объяснение во множестве чисел комплексных. Например, во множестве \mathbb{C} \, алгебраическое уравнение n-ой степени всегда имеет в точности n корней (с учетом их кратности), в то время как во множестве чисел вещественных оно может иметь и меньшее число корней (и даже не иметь их вовсе). Во множестве комплексных чисел существует логарифм от отрицательных чисел, функции синус и косинус могут принимать любые значения (в том числе и большие единицы), и т.д.

Комплексное число представляется в виде суммы x+iy \,, где x \, и y\ - вещественные числа. При этом x \, называется вещественной частью, а y\ - мнимой частью комплексного числа: x=\mathfrak{Re} (z),\
y=\mathfrak{Im} (z) (сокращение от real и imaginary). Число i \, (такое обозначение придумал Эйлер в XVIII веке) называется мнимой единицей, для него вводится правило умножения

i^2=-1 \,

Два комплексных числа называются равными, если равны их вещественные и мнимые части:

z_1=z_2 \ \iff \
\mathfrak{Re}(z_1)= \mathfrak{Re}(z_2),\,
\mathfrak{Im}(z_1)=\mathfrak{Im}(z_2)

Комплексное число вида x+i0\ считается равным вещественному числу x\,. Таким образом, множество комплексных чисел включает в себя множество вещественных. Для геометрической интерпретации комплексного числа, напомним, что всякое вещественное число графически можно изобразить либо отрезком, отложенным на данной прямой, либо точкой на этой прямой, если начала всех отрезков помещать в начало координат. Теперь если рассмотреть плоскость XOY с прямоугольной системой координат и договориться вещественные числа откладывать по оси OX, а числа вида iy\, - по оси OY, то каждой точке плоскости будет однозначно соответствовать комплексное число z=x+iy\,. В этой терминологии плоскость XOY называется комплексной плоскостью, прямая OX - ее вещественной осью, а OY - ее мнимой осью.

Можно также считать комплексное число z=x+iy\, вектором, с началом в начале координат и с концом - в точке (x,y)\,. Вспомним, что тот же вектор можно задать не только прямоугольными координатами x\, и y\,, но и полярными координатами: длиной вектора r=\sqrt{x^2+y^2}\, и углом, который вектор образует с положительным направлением оси OX:

cos(\phi)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\
sin(\phi)=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}; \ 0 \le \phi < 2\pi. \,

Следовательно, имеем

x=r\cos\phi,
y=r\sin\phi \ ;\,

и соответствующее комплексное число z=x+iy\, можно представить в, так называемой, тригонометрической форме:

z=r(\cos\phi + i
\sin\phi).\,

Здесь r \, называется модулем комплексного числа, а \phi \, - его аргументом: r=|z|, \phi =\arg(z)\,.

Алгебраические действия над комплексными числами

Сложение комплексных чисел выполняется по правилу:

z_1 + z_2 = (x_1 +
x_2) + i(y_1 + y_2)\,

Вычитание комплексных чисел. Сложение допускает обратную операцию: для любых двух комплексных чисел z_1 = x_1 + iy_1\, и z_2 = x_2 + iy_2\, всегда можно найти такое число z = x + iy\,, что z_2 + z = z_1\,. Таким образом,

z_1 - z_2 = (x_1 -
x_2) + i(y_1 - y_2)\,

Видим, что обе операции совершенно аналогичны действиям с векторами. Однако на следующей операции аналогия заканчивается.

Умножение комплексных чисел. Приняв во внимание, что i^2=-1\,, и группируя действительные и мнимые части, находим

z_1 \cdot z_2 =
(x_1 + iy_1)(x_2 + iy_2) = (x_1x_2 - y_1y_2) + i(x_1y_2 + x_2y_1)\,

Тот же результат можно представить и в тригонометрической форме: если

z_1=r_1(\cos\phi_1
+ i \sin\phi_1) \ , \ 
z_2=r_2(\cos\phi_2 + i \sin\phi_2) \,

то

z_1 \cdot
z_2=r_1r_2 (\cos (\phi_1+\phi_2) + i \sin (\phi_1+\phi_2))
\,

(при умножении комплексных чисел перемножаются их модули и складываютсяаргументы).

Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное умножению: если z=z_1:z_2\, и z_2 \ne 0\,, то частное z\, от деления z1 на z2 есть число, удовлетворяющее равенству zz_2=z_1\,:

\frac{z_1}{z_2} =
\frac{x_1x_2 + y_1y_2}{x^2_2 + y^2_2} 
+ i \frac{x_2y_1 - x_1y_2}{x^2_2
+ y^2_2} = \frac{r_1}{r_2} (\cos(\phi_1 - \phi_2) + i\sin(\phi_1 - \phi_2))
\,

Возведение в степень комплексного числа, т.е. вычисление z^n\, также может быть выполнено двумя способами. С одной стороны, можно n\, раз воспользоваться формулой умножения (формулой бинома Ньютона)

z^n=(x + i
y)^n=(x^n -C_n^2x^{n-2}y^2+C_n^4x^{n-4}y^4-\dots)
+i(nx^{n-1}y-C_n^3x^{n-3}y^3+C_n^5x^{n-5}y^5-\dots) \,

Здесь C_n^j означает биномиальный коэффициент: C_n^j=\frac{n!}{j!(n-j)!}. С другой стороны, вспомнив правило умножения чисел в тригонометрической форме, можно получить формулу Муавра:

z^n=r^n(\cos\phi +
i \sin\phi)^n=r^n(\cos n\phi + i \sin n \phi)\,

Извлечение корня из комплексного числа или вычисление числа w=\sqrt[n]{z}\, такого, что w^n=z\, может быть произведено с использованием формулы Муавра

w=\sqrt[n]{r}(\cos\frac{\phi+2\pi k}{n} + i \sin\frac{\phi+2\pi
k}{n})\,

Здесь параметр k\, может пробегать любые целые значения, но реально последняя формула содержит только n\, различных значений для w\,; они соответствуют k=0,1,...,(n-1)\,. На комплексной плоскости все эти значения расположены на окружности радиуса \sqrt[n]{r}\, с центром в начале координат и они делят эту окружность на n\, равных дуг.

Графики функций комплексного переменного

График вещественной функции y=f(x)\, можно изобразить в двумерном (2D) пространстве, на плоскости XOY. Это многим знакомо и привычно:

file:fx_x2.png
file:fx_x3.png

График же комплексной функции w=f(z)\, можно было бы построить в четырехмерном (4D) пространстве (две координаты нужны для изображения z\,, и две - для w\,).

К сожалению, подавляющее большинство людей сталкивается с серьезными проблемами при воображении четырехмерного пространства... Поэтому, одно из ухищрений, обычно применяемое, заключается в следующем: график строится в трехмерном (3D) пространстве. Ось OX отвечает за \mathfrak{Re}(z), ось OY - за \mathfrak{Im}(z), ось OZ - за \mathfrak{Re}(w). Для изображения \mathfrak{Im}(w) используется цвет получаемой 3D-точки. Цвет берется из заранее сформированной цветовой шкалы (градиента). Вот несколько примеров для |z| \le 1\,:

file:fz_z2.png
file:fz_z3.png

Для наглядности под получившейся <поверхностью> изображено множество значений |z| \le 1 (<круглая тень>). Примеры функций f(z)=z, \, f(z)=\sqrt{z}, \,
f(z)=\sqrt[3]{z} вынесены на отдельную страницу.

Множества Жюлиа и Мандельброта

Обозначим через \mathbb{C}\, плоскость комплексных чисел, а через \overline{\mathbb{C}}\, - риманову сферу \mathbb{C}\cup\infty\,. Рассмотрим процесс z_{n+1}=z^2_n +c\,, где z_n\in\overline{\mathbb{C}}\, и c \in \mathbb{C}\,. Выбрав произвольное число z_0\,, возведем его в квадрат и прибавим константу c\, для того, чтобы получить z_1\,; затем повторим вычисления для того, чтобы получить z_2\,, z_3\,, и т.д.

Давайте начнем с простейшего из возможных значений константы c\,, а именно c=0\,. Тогда при каждой итерации вычисляется точный квадрат числа: z_0 \to
z^2_0 \to z^4_0 \to K\,. В зависимости от значения z_0\, имеются три возможности:

  1. Если |z_0|<1\,, то числа получаются все меньшими и меньшими, их последовательность приближается к нулю.
  2. Если |z_0|>1\,, то числа получаются все большими и большими, стремясь к бесконечности.
  3. Если |z_0|=1\,, то точки продолжают оставаться на расстоянии 1 от нуля. Их последовательности лежат на границе двух областей притяжения, в данном случае на окружности единичного радиуса с центром в нуле.
file:julia_c0.png

Ситуация ясна: плоскость делится на две зоны влияния, а границей между ними является просто окружность.

Сюрпризы начинаются, когда мы выберем ненулевое значение параметра c\,, например, c=-0.1237 + 0.5607i\, Здесь для последовательности имеются также три вышеперечисленные возможности, но внутренняя точка, к которой стремится последовательность, уже не является нулем, а граница уже не является гладкой, она сильно изломана. Именно это Б. Мандельброт назвал фрактальной структурой такой границы.

file:julia_1.png

Одной из характерных особенностей такой границы является ее самоподобие. Если взять любую часть границы, то можно обнаружить, что она встречается в разных местах границы и имеет разные размеры. Границы такого рода в математике называют множествами Жюлиа.

Различные значения параметра c\, могут порождать разнообразные множества Жюлиа, причем малейшее изменение этого параметра нередко приводит к существенным метаморфозам. Некоторые множества Жюлиа связны, другие представляют собой <пылевидные> канторовы множества.

file:julia_2.pngfile:julia_3.pngfile:julia_4.pngfile:julia_5.png

Существует правило, определяющее вид множества Жюлиа. Оно зависит от параметра c\, и связано с изображением множества Мандельброта. Множество всех точек c\,, для которых итерации z_{n+1}=z^2_n + c \,\,\,(z_0=0)\, остаются ограниченными при n \to \infty\,, называется множеством Мандельброта.

file:mandel_0.png

Интересно, что все значения c\,, при которых множества Жюлиа связны, принадлежат множеству Мандельброта, поэтому последнее может быть определено и как множество всех значений параметра c\,, при которых множество Жюлиа связно.


Алгоритм построения множества Жюлиа

file:julia_alg.png

Шаг 0:

Выбрать параметр c=p+iq, x_{\min}, y_{\min},
x_{\max}, y_{\max}\,

Выбрать число M, которое считается бесконечно большим.

Положить dx = \frac{x_{\max} - x_{\min}}{a-1},
dy=\frac{y_{\max} - y_{\min}}{b-1}, где a \times b - разрешающая способность экрана.

Для всех пар (n_x, n_y)\,, где n_x = 0, 1, K, a-1\, и n_y = 0, 1, K, b-1\, выполнить следующую процедуру:

Шаг 1:

Положить x_0 = x_{\min} + n_x \cdot dx, \, y_0
= y_{\min} + n_y \cdot dy, \, k=0

Шаг 2 (итерация):

Вычислить (x_{k+1}, y_{k+1})\, по (x_{k}, y_{k})\,, используя формулы

x_{k+1} = x^2_k -
y^2_k + p \,
y_{k+1} = 2x_ky_k +
q \,

Увеличить счетчик k на 1.

Шаг 3 (оценка):

Вычислить r=x^2_k + y^2_k.

Если r>M \,, то выбрать цвет k и идти дальше на Шаг 4.

Если k=K \,, то выбрать цвет 0 (черный) и идти на Шаг 4.

Если r \le M, \, k \le K, вернуться на Шаг 2.

Шаг 4:

Приписать цвет k точке экрана (n_x, n_y) \, и перейти к следующей точке, начиная с Шаг 1.


Алгоритм построения множества Мандельброта

file:mandel_alg.png

Шаг 0:

Выбрать p_{\min}, p_{\max}, q_{\min},
q_{\max}\,

Выбрать число M, которое считается бесконечно большим. Например, M=100.

Положить dp = \frac{p_{\max} - p_{\min}}{a-1},
dq=\frac{q_{\max} - q_{\min}}{b-1}.

Для всех пар (n_p, n_q)\,, где n_p = 0, 1, K, a-1\, и n_q = 0, 1, K, b-1\, выполнить следующую процедуру:

Шаг 1:

Положить p_0 = p_{\min} + n_p \cdot dp, \, q_0
= q_{\min} + n_q \cdot dq, \, x_0=y_0=0

Шаг 2 (итерация):

Вычислить (x_{k+1}, y_{k+1})\,, используя формулы

x_{k+1} = x^2_k -
y^2_k + p \,
y_{k+1} = 2x_ky_k +
q \,

Увеличить счетчик k на 1.

Шаг 3 (оценка):

Вычислить r=x^2_k + y^2_k.

Если r>M \,, то выбрать цвет k и идти дальше на Шаг 4.

Если k=K \,, то выбрать цвет 0 (черный) и идти на Шаг 4.

Если r \le M, \, k \le K, вернуться на Шаг 2.

Шаг 4:

Приписать цвет k точке экрана (n_x, n_y) \, и перейти к следующей точке, начиная с Шаг 1.


Визуализация фрактальных множеств: примеры Дмитрия Абрамова

Литература

  1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. Москва - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 656 с.
  2. Милнор Дж. Голоморфная динамика. Ижевск: НИЦ <Регулярная и хаотическая динамика>, 2000, 320 с.
  3. Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов. Москва - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 162 с.
  4. Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. Образы комплексных систем. М.: Мир, 1993, 176 с.
  5. Фукс Б. А., Шабат Б. В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. Москва, 1959, 376 с.
  6. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Ижевск: РХД, 2001, 526 с.