zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Разное  » В свободное время  » Хитров: О преподавании алгебры

Хитров Г.М.: О преподавании алгебры

Известно, что алгебра, как раздел единой науки математики, занимается изучением алгебраических структур, а также уравнений и систем уравнений. Напомню, что с такими алгебраическими структурами как группа, кольцо, поле, векторное пространство каждый математик знаком, по крайней мере, на уровне определений. Само понятие алгебраической структуры относится к уже довольно абстрактным понятиям. Даже самая простая алгебраическая структура, такая как группа, практически вытеснена из современного курса алгебры первой ступени университетского образования (бакалавриата) в том числе из-за своей абстрактности. Остальные перечисленные алгебраические структуры преподаются по причине их практической востребованности. Из полей в алгебре наибольшее использование, а значит и место в преподаваемом материале, нашло поле комплексных чисел. Это случилось потому, что так называемая «основная теорема высшей алгебры» о корнях многочленов формулируется именно для поля комплексных чисел. Само собой разумеется, что привычные со школы поля рациональных и вещественных (действительных) чисел не остаются без внимания в преподаваемом курсе алгебры. Поле вещественных чисел используется и в математическом анализе и в курсе геометрии. Много внимания уделяется этим полям и в различных курсах «вычислительных методов», т.е. в курсах связанных с вычислениями на компьютерах. Однако конечным полям, даже такому простейшему полю, как поле по модулю два, уделяется крайне мало внимания. Это происходит потому, что на курс алгебры отводится весьма ограниченное время, а также из-за некоторой абстрактности этого поля. Так, начинать выпускнику школы с того, что 1 плюс 1 может быть равно 0, покажется весьма непривычным. Но именно к этому я призываю – начать освоение курса алгебры с освоения поля по модулю два. Почему? Да потому, что это поле имеет достаточно широкое наглядное применение (теория графов, например). Следовательно, на материале поля по модулю два студента с первых дней обучения легче приучать к необходимости абстрактного мышления. С другой стороны вычислительные процессы над полем по модулю два значительно проще. Сравните, сложение и умножение вещественных чисел, с несколькими значащими цифрами после запятой, со сложением и умножением чисел 0 и 1 над полем по модулю два. С другой стороны теория решения систем линейных алгебраических уравнений излагается над произвольным полем. Поэтому изложение этой теории над полем по модулю два позволит излагать её, не отвлекаясь на технические трудности, связанные с вычислениями. Далее, решения линейных систем над полем по модулю два достаточно просто интерпретировать и визуализировать на примере нахождения различных путей в обыкновенном графе, ведущих из одной вершины в другую. Кроме того на примере тех же графов можно иллюстрировать и такую алгебраическую структуру как «идемпотентное полуполе», где 1+1=1. Указанная структура в последнее время находит все большее применение (может быть кому-то уже приходилось сталкиваться с термином «тропическая математика»).

Упоминание в связи с полем по модулю два теории обыкновенных графов позволит уже для первокурсника сформулировать проблему изоморфизма графов и показать в связи с этой проблемой необходимость более глубокого изучения теории конечных групп. Я уже не говорю о том, что при формулировке и рассмотрении проблемы изоморфизма графов придется глубже вникать в такие понятия как подстановки, гомоморфизм, изоморфизм, автоморфизм, подстановочные матрицы, подгруппы подстановок, метод Гаусса решения систем линейных уравнений и т.п. Подчеркну, что все это можно сделать, не углубляясь в само решение проблемы изоморфизма графов.

Подведу итог размышлений — алгебру можно преподавать по новому, но для этого нужно большее время, чем отводится сегодня на этот курс. Это, во-первых. Во-вторых, все виды полей, кроме конечных полей, изучаются более подробно в других общеобразовательных курсах. Так, даже поле комплексных чисел, отмеченное выше как наиболее «алгебраическое», изучается более подробно в курсе «теории функций комплексного переменного» (ТФКП). И только конечным полям не нашлось места в других общеобразовательных курсах.

Хитров Г.М.