Теорема Дармуа-Скитовича (Darmois-Skitovich theorem)

Нижеприведенная информация взята из публикации ¹.

Теорема. ² Пусть даны две линейные формы

$Y_1=a_1X_1+ ...+ a_nX_n,\ Y_2=b_1X_1+ ...+ b_nX_n,$

с неравными нулю коэффициентами a₁,...,a_n,b₁,...,b_n взаимно независимых случайных величин X₁,...,X_n. Тогда, если случайные величины Y₁ и Y₂ независимы, то случайные величины X₁,...,X_n имеют нормальное распределение.

Эта теорема относится к классу так называемых характеризационных теорем теории вероятностей, т.е. к классу теорем устанавливающих связь между типом распределения случайных величин и некоторыми общими свойствами определенных функций от рассматриваемых случайных величин. Сама теорема Дармуа-Скитовича восходит к замечательному результату, полученному еще в 1859 г. известным английским физиком Джеймсом Максвеллом (1831–1879), который, занимаясь статистической физикой, установил применительно к стационарному состоянию идеального газа закон, называемый ныне законом Максвелла для распределения скоростей молекул. Теоретико-вероятностная формулировка этого физического закона Максвелла звучит следующим образом.

Пусть взаимно независимые случайные величины имеют совместную плотность распределения f(X₁,X₂,X₃) , зависящую только от квадратичной формы X_1^2+X_2^2+X_3^2

. Тогда, если три проекции случайного вектора X = (X₁,X₂,X₃) на какие-либо три ортогональные оси взаимно независимы, то случайные величины X₁,X₂,X₃ имеют нормальное распределение.

Более семидесяти лет, отделяющих закон Максвелла от теоремы Дармуа-Скитовича, были заполнены попытками многих ученых обобщить и усилить исходную формулировку рассматриваемой теоремы о характеризации нормальности случайных величин при помощи независимости линейных форм от этих случайных величин. Среди авторов различных модификаций указанной теоремы следует упомянуть, например, российских академиков Сергея Натановича Бернштейна и Юрия Владимировича Линника, знаменитого математика Дьёрдя Пойя (Polia) и много других известных ученых. Однако, наивысшее достижение в этой области принадлежит Виктору Павловичу Скитовичу – как справедливо пишет в своем популярном учебнике ³ известный специалист по теории вероятностей Вильям Феллер:

Эта теорема имеет длинную историю, восходящую к исследованиям Максвелла... Многие авторы вносили улучшения и исследовали варианты, иногда при помощи более сильных методов. Кульминации это развитие достигло в результате, доказанном В.П. Скитовичем

Такое понимание теоремы Скитовича, как кульминации почти столетнего развития важного направления теоретико-вероятностных исследований, не сразу получило распространение среди коллег Виктора Павловича, о чем свидетельствует несколько затянувшаяся история с первой публикацией обсуждаемого результата ¹.

Литература

1. В.В.Скитович, Н.В.Хованов. О теореме Дармуа-Скитовича. // Журнал "С.-Петербургский университет" 2003, C.14–15
2. Скитович В.П. Линейные формы от независимых величин и нормальный закон распределения. // Известия Академии наук СССР. Сер. матем. 1954. Том 18. © 2. С.185–200.
3. В.Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М. "Мир". 1984.