zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Образование  » Специальности  » по математике по направлению 010600

Программа государственного экзамена по математике по направлению 010600 «Прикладные математика и физика»

  1. Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы, непрерывные на компакте.
  2. Дифференцируемость функций многих переменных. Дифференцируемость функций в точке. Достаточные условия дифференцируемости в терминах частных производных. Дифференцируемость сложной функции.
  3. Формула Тейлора. Различные формы записи остаточного члена.
  4. Определенный интеграл Римана. Определение, обобщенная теорема о среднем значении, интеграл с переменным пределом, формулы замены переменной, интегрирование по частям.
  5. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость, возможность перестановки предельных переходов, интегрирование и дифференцирование рядов и последовательностей.
  6. Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование.
  7. Гильбертово пространство. Определение. Простейшие свойства скалярного произведения. Основная теорема. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве.
  8. Экстремум функции многих переменных. Теоремы об условном экстремуме.
  9. Матричное представление линейных операторов. Условия диагонализуемости матрицы линейного оператора. Жорданова форма.
  10. Квадратичные формы. Закон инерции. Условия знакоопределенности квадратичных форм.
  11. Алгебраические линии и поверхности первого и второго порядка. Приведение к канонической форме их уравнений, классификация.
  12. Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод последовательных приближений Пикара.
  13. Зависимость решений систем дифференциальных уравнений от параметров и начальных данных.
  14. Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений: свойства решений, формула Коши.
  15. Интегрирование линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
  16. Линейное уравнение в частных производных первого порядка. Существование и единственность решения начальной задачи.
  17. Аналитические функции. Условия аналитичности. Конформные отображения.
  18. Интеграл Коши. Интегральная теорема Коши.
  19. Разложение аналитических функций в степенные ряды. Ряд Лорана. Теорема о вычетах.
  20. Основная задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.
  21. Задача Коши для уравнений с частными производными второго порядка, характеристики и поверхности слабого разрыва. Классификация дифференциальных уравнений второго порядка.
  22. Волновое уравнение и уравнение теплопроводности.
  23. Уравнения Лапласа и Пуассона. Формула Грина. Задачи Дирихле и Неймана, их сведение к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода.
  24. Случайное событие и его вероятность. Основные теоремы и вероятности. Случайная величина и ее функция распределения. Центральная предельная теорема.
  25. Сходимость по вероятности, сходимость с вероятностью единица. Неравенство П.Л. Чебышева. Закон больших чисел для последовательности независимости независимых одинаково распределенных случайных величин.
  26. Проверка статистических гипотез. Лемма Неймана-Пирсона. Критерий согласия Пирсона.
  27. Точечные оценки. Свойства точечных оценок. Метод моментов. Метод максимального правдоподобия.
  28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.
  29. Асимптотическая устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, область притяжения и методы ее оценки. Теорема В.И. Зубова о границе области притяжения.
  30. Задачи управления и наблюдения в линейных системах. Критерии полной управляемости и наблюдаемости.
  31. Непрерывная и дискретная стабилизация управляемых систем.
  32. Оптимальная стабилизация управляемых систем.
  33. Интерполирование и наилучшие многочленные приближения функций.
  34. Итеративные методы решения уравнений. Метод Ньютона.
  35. Численные методы решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Рунге-Кутта второго порядка.
  36. Архитектура и программное обеспечение современных вычислительных машин.
  37. Алгоритмические языки и алгоритмизация.