Программа государственного экзамена по специальности 010200 Прикладная математика
Рассмотрена и одобрена на заседании методической комиссии факультета ПМ-ПУ 22 ноября 2001 года (протокол № 2 от 22.11.2001.)
Председатель методической комиссии — профессор Утешев А.Ю.
Утверждена на заседании Ученого Совета факультета ПМ-ПУ 22 ноября 2001 года (протокол № 3 от 22.11.2001)
Председатель Ученого совета — профессор Петросян Л.А.
- Дифференцирование функций. Производная неявной функции и функции, заданной параметрически.
- Формула Тейлора и ряд Тейлора функции вещественного аргумента. Представление остаточного члена.
- Интегрирование функций. Кратные интегралы.
- Поверхностные и криволинейные интегралы. Их взаимосвязь.
- Элементы теории поля: теорема Гаусса-Остроградского, физическая интерпретация; условия потенциальности поля.
- Функциональные последовательности и ряды: область сходимости, операции над сходящимися рядами.
- Классические ряды Фурье. Представление функции тригонометрическим рядом.
- Экстремум функции многих переменных. Теоремы об условном экстремуме.
- Матричное представление линейных операторов. Алгоритм приведения к жордановой форме.
[Материалы к установочной лекции (А.Ю.Утешев),
115 KB]
- Квадратичные формы. Закон инерции. Условия положительной определенности квадратичных форм.
[Материалы к установочной лекции (А.Ю.Утешев),
129 KB]
- Алгебраические линии и поверхности первого и второго порядка. Приведение к канонической форме их уравнений, классификация.
- Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод последовательных приближений Пикара.
- Зависимость решений систем дифференциальных уравнений от параметров и начальных данных.
- Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
- Интегрирование линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Анализ фазовых траекторий на плоскости.
- Линейное уравнение в частных производных первого порядка. Существование и единственность решения начальной задачи.
- Аналитические функции. Условия аналитичности. Конформные отображения.
[Материалы к установочной лекции (В.Н.Старков),
183 KB]
- Интеграл Коши. Интегральная теорема Коши.
[Материалы к установочной лекции (В.Н.Старков),
121 KB]
- Разложение аналитических функций в степенные ряды. Ряд Лорана. Представление вычетов.
[Материалы к установочной лекции (В.Н.Старков),
177 KB]
- Элементы вариационного исчисления: необходимые условия экстремума интегрального функционала.
[Материалы к установочной лекции (В.Ф.Демьянов, С.К.Мышков),
179 KB]
- Задача Коши для уравнений с частными производными второго порядка, характеристики и поверхности слабого разрыва. Классификация дифференциальных уравнений второго порядка.
- Волновое уравнение и уравнение теплопроводности на прямой, полупрямой и на отрезке.
- Уравнения Лапласа и Пуассона. Формула Грина. Задачи Дирихле и Неймана, их сведение к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода.
- Определение и свойства характеристических функций. Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин.
- Сходимость по вероятности, сходимость с вероятностью единица. Неравенство П. Л. Чебышева. Закон больших чисел для последовательности независимых случайных величин.
- Проверка статистических гипотез. Лемма Неймана-Пирсона. Критерий согласия Пирсона-Фишера.
- Построение точечных оценок. Метод максимального правдоподобия. Свойства точечных оценок.
- Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.
- Асимптотическая устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, область притяжения и методы ее оценки. Теорема В. И. Зубова о границе области притяжения.
- Задачи управления и наблюдения в линейных системах. Критерии полной управляемости и наблюдаемости.
- Стабилизация управляемых систем (непрерывная, дискретная, релейная).
- Оптимальная стабилизация управляемых систем.
- Симплекс-метод решения задачи линейного программирования
[Материалы к установочной лекции (Н.А.Зенкевич),
152 KB]
- Равновесие по Нэшу. Существование равновесия для конечных игр в нормальной форме
- Потоки в сетях. Теорема о максимальном потоке.
[Материалы к установочной лекции (Н.А.Зенкевич),
130 KB]
- Интерполирование и наилучшие многочленные приближения функций.
- Итеративные методы решения уравнений. Метод Ньютона.
- Численные методы решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
- Архитектура современных вычислительных машин
[Материалы к установочной лекции (С.Н.Андрианов),
327 KB]
- Алгоритмические языки. Формальные грамматики. Система математического обеспечения современных ЭВМ.
[Материалы к установочной лекции (И.Л.Братчиков),
134 KB]
- Основы проектирования БД, методы построения СУБД, SQL, примеры реализации. Основы современных БД.
[Материалы к установочной лекции (И.Л.Братчиков),
120 KB]
- Булева алгебра. Функции алгебры логики. Конечные автоматы.
- Уравнения движения и основные законы динамики материальной точки и механической системы.
- Обобщенные координаты. Уравнения Лагранжа второго рода. Канонические уравнения механики.
- Задача Эйлера и уравнения вращательного движения твердого тела.
- Фундаментальные взаимодействия, законы классической механики, термодинамики,
электродинамики. Основные положения квантовой механики.
[Материалы к установочной лекции (С.Н.Андрианов),
220 KB]
- Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной формах. Граничные условия.
[Материалы к установочной лекции (С.Н.Андрианов),
186 KB]
- Теорема В. И. Зубова об универсальности уравнений электродинамики.
[Материалы к установочной лекции (С.Н.Андрианов),
114 KB]
- Динамические системы в метрических пространствах. Точки покоя,
периодические, почти периодические и рекуррентные движения. Устойчивость по
Лагранжу, по Пуассону и по Ляпунову инвариантных множеств.
[Материалы к установочной лекции (С.Н.Кирничников),
157 KB]
- Минимальные множества динамических систем в метрическом пространстве.
Теоремы Биркгофа о структуре минимальных множеств.
[Материалы к установочной лекции (С.Н.Кирпичников),
121 KB, исправлено 17.02.2004]