Программа государственного экзамена по специальности 010200 Прикладная математика

Рассмотрена и одобрена на заседании методической комиссии факультета ПМ-ПУ 22 ноября 2001 года (протокол № 2 от 22.11.2001.)

Председатель методической комиссии — профессор Утешев А.Ю.

Утверждена на заседании Ученого Совета факультета ПМ-ПУ 22 ноября 2001 года (протокол № 3 от 22.11.2001)

Председатель Ученого совета — профессор Петросян Л.А.

Дифференцирование функций. Производная неявной функции и функции, заданной параметрически.
Формула Тейлора и ряд Тейлора функции вещественного аргумента. Представление остаточного члена.
Интегрирование функций. Кратные интегралы.
Поверхностные и криволинейные интегралы. Их взаимосвязь.
Элементы теории поля: теорема Гаусса-Остроградского, физическая интерпретация; условия потенциальности поля.
Функциональные последовательности и ряды: область сходимости, операции над сходящимися рядами.
Классические ряды Фурье. Представление функции тригонометрическим рядом.
Экстремум функции многих переменных. Теоремы об условном экстремуме.
Матричное представление линейных операторов. Алгоритм приведения к жордановой форме. [Материалы к установочной лекции (А.Ю.Утешев), 115 KB]
Квадратичные формы. Закон инерции. Условия положительной определенности квадратичных форм. [Материалы к установочной лекции (А.Ю.Утешев), 129 KB]
Алгебраические линии и поверхности первого и второго порядка. Приведение к канонической форме их уравнений, классификация.
Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод последовательных приближений Пикара.
Зависимость решений систем дифференциальных уравнений от параметров и начальных данных.
Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
Интегрирование линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Анализ фазовых траекторий на плоскости.
Линейное уравнение в частных производных первого порядка. Существование и единственность решения начальной задачи.
Аналитические функции. Условия аналитичности. Конформные отображения. [Материалы к установочной лекции (В.Н.Старков), 183 KB]
Интеграл Коши. Интегральная теорема Коши. [Материалы к установочной лекции (В.Н.Старков), 121 KB]
Разложение аналитических функций в степенные ряды. Ряд Лорана. Представление вычетов. [Материалы к установочной лекции (В.Н.Старков), 177 KB]
Элементы вариационного исчисления: необходимые условия экстремума интегрального функционала. [Материалы к установочной лекции (В.Ф.Демьянов, С.К.Мышков), 179 KB]
Задача Коши для уравнений с частными производными второго порядка, характеристики и поверхности слабого разрыва. Классификация дифференциальных уравнений второго порядка.
Волновое уравнение и уравнение теплопроводности на прямой, полупрямой и на отрезке.
Уравнения Лапласа и Пуассона. Формула Грина. Задачи Дирихле и Неймана, их сведение к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода.
Определение и свойства характеристических функций. Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин.
Сходимость по вероятности, сходимость с вероятностью единица. Неравенство П. Л. Чебышева. Закон больших чисел для последовательности независимых случайных величин.
Проверка статистических гипотез. Лемма Неймана-Пирсона. Критерий согласия Пирсона-Фишера.
Построение точечных оценок. Метод максимального правдоподобия. Свойства точечных оценок.
Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.
Асимптотическая устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, область притяжения и методы ее оценки. Теорема В. И. Зубова о границе области притяжения.
Задачи управления и наблюдения в линейных системах. Критерии полной управляемости и наблюдаемости.
Стабилизация управляемых систем (непрерывная, дискретная, релейная).
Оптимальная стабилизация управляемых систем.
Симплекс-метод решения задачи линейного программирования [Материалы к установочной лекции (Н.А.Зенкевич), 152 KB]
Равновесие по Нэшу. Существование равновесия для конечных игр в нормальной форме
Потоки в сетях. Теорема о максимальном потоке. [Материалы к установочной лекции (Н.А.Зенкевич), 130 KB]
Интерполирование и наилучшие многочленные приближения функций.
Итеративные методы решения уравнений. Метод Ньютона.
Численные методы решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Архитектура современных вычислительных машин [Материалы к установочной лекции (С.Н.Андрианов), 327 KB]
Алгоритмические языки. Формальные грамматики. Система математического обеспечения современных ЭВМ. [Материалы к установочной лекции (И.Л.Братчиков), 134 KB]
Основы проектирования БД, методы построения СУБД, SQL, примеры реализации. Основы современных БД. [Материалы к установочной лекции (И.Л.Братчиков), 120 KB]
Булева алгебра. Функции алгебры логики. Конечные автоматы.
Уравнения движения и основные законы динамики материальной точки и механической системы.
Обобщенные координаты. Уравнения Лагранжа второго рода. Канонические уравнения механики.
Задача Эйлера и уравнения вращательного движения твердого тела.
Фундаментальные взаимодействия, законы классической механики, термодинамики, электродинамики. Основные положения квантовой механики. [Материалы к установочной лекции (С.Н.Андрианов), 220 KB]
Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной формах. Граничные условия. [Материалы к установочной лекции (С.Н.Андрианов), 186 KB]
Теорема В. И. Зубова об универсальности уравнений электродинамики. [Материалы к установочной лекции (С.Н.Андрианов), 114 KB]
Динамические системы в метрических пространствах. Точки покоя, периодические, почти периодические и рекуррентные движения. Устойчивость по Лагранжу, по Пуассону и по Ляпунову инвариантных множеств. [Материалы к установочной лекции (С.Н.Кирничников), 157 KB]
Минимальные множества динамических систем в метрическом пространстве. Теоремы Биркгофа о структуре минимальных множеств. [Материалы к установочной лекции (С.Н.Кирпичников), 121 KB, исправлено 17.02.2004]