Программа государственного экзамена по математике по направлению 511600 "Прикладная математика и физика"

Рассмотрена и одобрена на заседании методической комиссии факультета ПМ-ПУ 25 ноября 2003 года (протокол № от 25.11.04г.)
Председатель методической комиссии - профессор А. Ю. Утешев

Утверждена на заседании Ученого Совета факультета ПМ-ПУ 25 ноября 2003 года (протокол № от 25.11.04г.)
Председатель Ученого совета - профессор Л. А. Петросян

Дифференцирование функций. Производная неявной функции и функции, заданной параметрически.
Формула Тейлора и ряд Тейлора функции вещественного аргумента. Представление остаточного члена.
Интегрирование функций. Кратные интегралы.
Поверхностные и криволинейные интегралы. Их взаимосвязь.
Элементы теории поля: теорема Гаусса-Остроградского, физическая интерпретация; условия потенциальности поля.
Функциональные последовательности и ряды: область сходимости, операции над сходящимися рядами.
Классические ряды Фурье. Представление функции тригонометрическим рядом.
Экстремум функции многих переменных. Теоремы об условном экстремуме.
Матричное представление линейных операторов. Алгоритм приведения к Жордановой форме.
Квадратичные формы. Закон инерции. Условия положительной определенности квадратичных форм.
Алгебраические линии и поверхности первого и второго порядка. Приведение к канонической форме их уравнений, классификация. (В.В.Еремеев, 205 KB)
Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод последовательных приближений Пикара.
Зависимость решений систем дифференциальных уравнений от параметров и начальных данных.
Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
Интегрирование линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Анализ фазовых траекторий на плоскости.
Линейное уравнение в частных производных первого порядка. Существование и единственность решения начальной задачи.
Аналитические функции. Условие аналитичности. Конформные отображения.
Интеграл Коши. Интегральная теорема Коши.
Разложение аналитических функций в степенные ряды. Ряд Лорана. Представление вычетов.
Элементы вариационного исчисления: необходимые условия экстремума интегрального функционала.
Задача Коши для уравнений с частными производными второго порядка, характеристики и поверхности слабого разрыва. Классификация дифференциальных уравнений второго порядка.
Волновое уравнение и уравнение теплопроводности на прямой, полупрямой и на отрезке.
Уравнения Лапласа и Пуассона. Формула Грина. Задачи Дирихле и Неймана, их сведение к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода.
Определение и свойства характеристических функций. Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин.
Сходимость по вероятности, сходимость с вероятностью единица. Неравенство П.Л. Чебышева. Закон больших чисел для последовательности независимых случайных величин.
Проверка статистических гипотез. Лемма Неймана-Пирсона. Критерий согласия Пирсона-Фишера.
Построение точечных оценок. Метод максимального правдоподобия. Свойства точечных оценок.
Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.
Асимптотическая устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, область притяжения и методы ее оценки.
Задачи управления и наблюдения в линейных системах. Критерии полной управляемости и наблюдаемости.
Стабилизация управляемых систем (непрерывная, дискретная, релейная).
Оптимальная стабилизация управляемых систем.
Симплекс-метод решения задачи линейного программирования.
Равновесие по Нэшу. Существование равновесия для конечных игр в нормальной форме.
Потоки в сетях. Теорема о максимальном потоке.
Интерполирование и наилучшие многочленные приближения функций.
Итеративные методы решения уравнений. Метод Ньютона.
Численные методы решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Архитектура современных вычислительных машин.
Алгоритмические языки. Формальные грамматики. Система математического обеспечения современных ЭВМ.