Программа государственного экзамена по математике по направлению 511600 "Прикладная математика и физика"
Рассмотрена и одобрена на заседании методической комиссии факультета ПМ-ПУ
25 ноября 2003 года (протокол № от 25.11.04г.)
Председатель методической комиссии - профессор А. Ю. Утешев
Утверждена на заседании Ученого Совета факультета ПМ-ПУ
25 ноября 2003 года (протокол № от 25.11.04г.)
Председатель Ученого совета - профессор Л. А. Петросян
- Дифференцирование функций. Производная неявной функции и функции, заданной параметрически.
- Формула Тейлора и ряд Тейлора функции вещественного аргумента. Представление остаточного члена.
- Интегрирование функций. Кратные интегралы.
- Поверхностные и криволинейные интегралы. Их взаимосвязь.
- Элементы теории поля: теорема Гаусса-Остроградского, физическая интерпретация; условия потенциальности поля.
- Функциональные последовательности и ряды: область сходимости, операции над сходящимися рядами.
- Классические ряды Фурье. Представление функции тригонометрическим рядом.
- Экстремум функции многих переменных. Теоремы об условном экстремуме.
- Матричное представление линейных операторов. Алгоритм приведения к Жордановой форме.
- Квадратичные формы. Закон инерции. Условия положительной определенности квадратичных форм.
- Алгебраические линии и поверхности первого и второго порядка. Приведение к канонической форме их уравнений, классификация. (В.В.Еремеев,
205 KB) - Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод последовательных приближений Пикара.
- Зависимость решений систем дифференциальных уравнений от параметров и начальных данных.
- Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
- Интегрирование линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Анализ фазовых траекторий на плоскости.
- Линейное уравнение в частных производных первого порядка. Существование и единственность решения начальной задачи.
- Аналитические функции. Условие аналитичности. Конформные отображения.
- Интеграл Коши. Интегральная теорема Коши.
- Разложение аналитических функций в степенные ряды. Ряд Лорана. Представление вычетов.
- Элементы вариационного исчисления: необходимые условия экстремума интегрального функционала.
- Задача Коши для уравнений с частными производными второго порядка, характеристики и поверхности слабого разрыва. Классификация дифференциальных уравнений второго порядка.
- Волновое уравнение и уравнение теплопроводности на прямой, полупрямой и на отрезке.
- Уравнения Лапласа и Пуассона. Формула Грина. Задачи Дирихле и Неймана, их сведение к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода.
- Определение и свойства характеристических функций. Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин.
- Сходимость по вероятности, сходимость с вероятностью единица. Неравенство П.Л. Чебышева. Закон больших чисел для последовательности независимых случайных величин.
- Проверка статистических гипотез. Лемма Неймана-Пирсона. Критерий согласия Пирсона-Фишера.
- Построение точечных оценок. Метод максимального правдоподобия. Свойства точечных оценок.
- Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.
- Асимптотическая устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, область притяжения и методы ее оценки.
- Задачи управления и наблюдения в линейных системах. Критерии полной управляемости и наблюдаемости.
- Стабилизация управляемых систем (непрерывная, дискретная, релейная).
- Оптимальная стабилизация управляемых систем.
- Симплекс-метод решения задачи линейного программирования.
- Равновесие по Нэшу. Существование равновесия для конечных игр в нормальной форме.
- Потоки в сетях. Теорема о максимальном потоке.
- Интерполирование и наилучшие многочленные приближения функций.
- Итеративные методы решения уравнений. Метод Ньютона.
- Численные методы решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
- Архитектура современных вычислительных машин.
- Алгоритмические языки. Формальные грамматики. Система математического обеспечения современных ЭВМ.