Программа государственного экзамена по математике
по направлению 010600 «Прикладные математика и физика»
(бакалавриат)
|
Рассмотрена и одобрена на заседании методической комиссии факультета ПМ-ПУ 25 ноября 2010 года (протокол №5 от 25.11.2010г.) Председатель учебно-методической комиссии В.В. Евстафьева |
Утверждена на заседании Ученого Совета факультета ПМ-ПУ 25 ноября 2010 года (протокол №4 от 25.11.2010г.) Председатель Ученого Совета профессор Л.А.Петросян. |
- Производная функции. Дифференцируемая функция и ее дифференциал. Дифференцируемость и непрерывность.
- Формула Тейлора для функции одной переменной.
- Определенный интеграл Римана для функции одной переменной, его основные свойства, критерий интегрируемости и классы интегрируемых по Риману функций.
- Поточечная и равномерная сходимость функциональных последовательностей функциональных рядов, теоремы о почленном интегрировании и почленном дифференцировании.
- Радиус и область сходимости степенного ряда. Теорема Коши-Адамара. Ряд Тейлора.
- Теоремы о неявной функции и неявном отображении.
- Кратные интегралы: сведение кратного интеграла к повторному, теорема о замене переменной.
- Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода, формула Грина.
- Поверхностные интегралы, формулы Стокса и Гаусса-Остроградского.
- Тригонометрические ряды Фурье.
- Сепарабельные и компактные пространства.
- Непрерывные операторы и функционалы в компактных метрических пространствах.
- Векторное пространство. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Базис пространства. Теорема о базисе.
- Квадратичные формы. Закон инерции. Условия знакоопределенности квадратичных форм.
- Алгебраические линии и поверхности первого и второго порядка. Приведение к канонической форме их уравнений, классификация.
- Матрицы. Действия с матрицами. Определитель n-го порядка, его свойства. Методы вычисления определителей.
- Системы линейных алгебраических уравнений. Методы решения. Теорема Кронекера-Капелли.
- Линейные операторы в векторном пространстве. Действия над линейными операторами. Матричное представление линейных операторов.
- Теорема существования и единственности решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод последовательных приближений Пикара.
- Зависимость решений систем дифференциальных уравнений от параметров и начальных данных.
- Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений: свойства решений, формула Коши.
- Интегрирование линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
- Линейное уравнение в частных производных первого порядка. Построение общего решения и решения задачи Коши.
- Постановка вариационной задачи. Уравнение Эйлера.
- Аналитические функции. Условия аналитичности. Конформные отображения.
- Интеграл Коши. Интегральная теорема Коши.
- Разложение аналитических функций в степенные ряды. Ряд Лорана. Теорема о вычетах.
- Классификация уравнений математической физики. Начальные и граничные условия и их физический смысл.
- Волновое уравнение (уравнение колебания струны, стержня, мембраны). Методы решения.
- Уравнение теплопроводности. Понятие мгновенного точечного источника.
- Случайное событие и его вероятность. Основные теоремы теории вероятностей.
- Случайная величина и ее функция распределения. Основные распределения дискретных и непрерывных случайных величин.
- Неравенство П.Л. Чебышева. Закон больших чисел в форме Чебышева. Характеристические функции. Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин.
- Точечные оценки. Свойства точечных оценок. Метод моментов. Метод наибольшего правдоподобия.
- Интервальные оценки. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения. Проверка статистических гипотез. Критерий согласия Пирсона.
- Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.
- Асимптотическая устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, область притяжения и методы ее оценки. Теорема В. И. Зубова о границе области притяжения.
- Задачи управления и наблюдения в линейных системах. Критерии полной управляемости и наблюдаемости.
- Непрерывная стабилизация линейных систем.
- Оптимальная стабилизация управляемых систем.
- Терминальная задача оптимального управления. Принцип максимума А.С. Понтрягина.
- Оптимальное демпфирование переходных процессов.
- Интегрирование и наилучшие многочленные приближения функций.
- Итеративные методы решения уравнений. Метод Ньютона.
- Численные методы решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Рунге-Кутта.