Программа государственного экзамена по направлению 010500 «Прикладная математика и информатика»
Рассмотрена и одобрена на заседании методической комиссии факультета ПМ-ПУ 06 ноября 2012 года (протокол №6 от 06.11.2012г.) Председатель учебно-методической комиссии В.В. Евстафьева |
Утверждена на заседании Ученого Совета факультета ПМ-ПУ 22 ноября 2012 года (протокол №1 от 22.11.2012г.) Председатель Ученого Совета профессор Л.А.Петросян. |
- Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы, непрерывные на компакте.
- Дифференцируемость функций многих переменных. Дифференцируемость функций в точке. Достаточные условия дифференцируемости в терминах частных производных. Дифференцируемость сложной функции.
- Формула Тейлора. Различные формы записи остаточного члена.
- Определенный интеграл Римана. Определение, обобщенная теорема о среднем значении, интеграл с переменным верхним пределом, формулы замены переменной, интегрирование по частям.
- Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость, возможность перестановки предельных переходов, интегрирование и дифференцирование рядов и последовательностей.
- Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование.
- Гильбертово пространство. Определение. Простейшие свойства скалярного произведения. Основная теорема. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве.
- Экстремум функции многих переменных.
- Матричное представление линейных операторов. Условия диагонализуемости матрицы линейного оператора.
- Квадратичные формы. Закон инерции. Условия знакоопределенности квадратичных форм.
- Алгебраические линии и поверхности первого и второго порядка. Приведение к канонической форме их уравнений, классификация.
- Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод последовательных приближений Пикара.
- Зависимость решений систем дифференциальных уравнений от параметров и начальных данных.
- Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений: свойства решений, формула Коши.
- Интегрирование линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
- Линейное уравнение в частных производных первого порядка. Существование и единственность решения начальной задачи.
- Аналитические функции. Условия аналитичности. Конформные отображения.
- Интеграл Коши. Интегральная теорема Коши.
- Разложение аналитических функций в степенные ряды. Ряд Лорана. Представление вычетов.
- Элементы вариационного исчисления. Необходимые условия экстремума интегрального функционала.
- Задача Коши для уравнений с частными производными второго порядка, характеристики и поверхности слабого разрыва. Классификация дифференциальных уравнений второго порядка.
- Волновое уравнение и уравнение теплопроводности на прямой, полупрямой и на отрезке.
- Уравнения Лапласа и Пуассона. Формула Грина. Задачи Дирихле и Неймана, их сведение к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода.
- Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин.
- Сходимость по вероятности, сходимость с вероятностью единица. Неравенство П. Л. Чебышева. Закон больших чисел для последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин.
- Проверка статистических гипотез. Лемма Неймана-Пирсона. Критерий согласия Пирсона.
- Точечные оценки. Свойства точечных оценок. Метод моментов. Метод максимального правдоподобия.
- Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.
- Асимптотическая устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, область притяжения и методы ее оценки. Теорема В. И. Зубова о границе области притяжения.
- Задачи управления и наблюдения в линейных системах. Критерии полной управляемости и наблюдаемости.
- Непрерывная и дискретная стабилизация управляемых систем.
- Оптимальная стабилизация управляемых систем.
- Симплекс-метод решения задачи линейного программирования.
- Равновесие по Нэшу. Существование равновесия для конечных игр в нормальной форме.
- Потоки в сетях. Теорема о максимальном потоке.
- Интерполирование и наилучшие многочленные приближения функций.
- Итеративные методы решения уравнений. Метод Ньютона.
- Численные методы решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Рунге-Кутта второго порядка.
- Компьютерные сети. Принципы организации, сетевые протоколы.
- Операционные системы. Типы операционных систем. Основные функции.
- Алгоритм. Формализация понятия алгоритма. Машина Тьюринга. Алгоритмически неразрешимые задачи. Понятие сложности алгоритма, классы сложности. NP-полные и полиномиально разрешимые задачи.
- Структуры данных и алгоритмы работы с ними.. Массивы, списки, деревья, методы хэширования.
- Алгоритмы построения, модификации, балансировки деревьев (бинарное дерево, B-дерево, AVL-дерево, красно-черное дерево).
- Языки программирования. Классификация (императивные, декларативные, параллельные) и примеры. Компиляторы и интерпретаторы. Объектно-ориентированное программирование.
- Базы данных: виды, требования к базам данных, общая структура. Обзор современных СУБД. Языки запросов. Нормализация базы данных, транзакция, реляционная алгебра и SQL. Примеры.
- Булева алгебра. Функции алгебры логики. Дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы, полином Жегалкина. Полнота и замкнутость.
- Исчисление высказываний. Аксиомы и правило вывода исчисления высказываний. Исчисление предикатов, примеры.
- Экспертные системы. Логическое программирование.
- Энтропия и информация. Доказательство неотрицательности информации.
- Кодирование данных. Код Хаффмана и его оптимальность.
- Теорема Шеннона о передаче данных по каналу с шумом. Код Хэмминга.
- Машинное обучение. Наивный байесовский классификатор. Кластеризация. Иерархическая кластеризация и метод k-средних.
- Уравнения движения и основные законы динамики материальной точки и механической системы.
- Обобщенные координаты. Уравнения Лагранжа второго рода. Канонические уравнения механики.
- Задача Эйлера и уравнения вращательного движения твердого тела.
- Фундаментальные взаимодействия, законы классической механики, термодинамики, электродинамики. Основные положения квантовой механики.
- Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной формах. Граничные условия.
- Проблема универсальности уравнений электродинамики.