Качественный анализ нелинейных моделей биологических и социально-экономических систем
Специальный курс
Часть 1. Основные элементы качественной теории динамических систем
1.1. Линейные системы
Общие свойства решений линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Понятие интегральной кривой и траектории системы о.д.у. Поле направлений, изоклины и фазовый портрет. Положения равновесия линейной системы и их фазовые портреты: узел, седло, фокус, центр, вырожденные случаи (примеры). Задачи о построении сепаратрис и определяющих прямых. Направления движения изображающей точки по траектории системы. Критерии устойчивости положений равновесия.
1.2. Нелинейные системы
Положения равновесия нелинейной системы. Линеаризация системы в окрестности неподвижной точки. Теорема об устойчивости по линейному приближению. Проблема центра--фокуса, первый интеграл системы, теорема Ляпунова. Свойства траекторий, характерные для динамических систем на плоскости и на сфере. Понятие предельной траектории. Предельные траектории динамических систем, имеющих конечное число состояний равновесия. Возможные типы траекторий. Теорема о наличии состояния равновесия внутри замкнутой траектории. Основная теорема о состоянии равновесия. Изолированная замкнутая траектория --- предельный цикл. Возможное расположение траекторий в окрестности предельного цикла. Признаки существования и отсутствия замкнутых траекторий. Критерий Дюлака и Бендиксона. Применение индексов Пуанкаре к решению вопросов существования предельных циклов. Поведение траекторий на бесконечности. Преобразование Бендиксона и сфера Пуанкаре.
Примеры качественного анализа нелинейных систем на плоскости и построения их фазовых портретов.
Часть 2. Примеры качественного анализа нелинейных моделей конкуренции в биологических и социально-экономических системах
2.1. Математические модели популяций
Простейшая модель Мальтуса для темпа роста численности популяции и ее модификация. Биологический смысл коэффициентов и параметров. Модель Лотки--Вольтерра взаимодействия и конкуренции двух и более видов живых организмов. Вывод системы уравнений. Биологический смысл коэффициентов и параметров. Условия существования устойчивого положения равновесия. Качественный анализ траекторий системы. Условия существования устойчивого предельного цикла. Методы оценки периода и амплитуды устойчивых колебаний в биологической системе. Учет внешних возмущений и анализ их влияния на устойчивость положений равновесия. Устойчивость системы в пространстве параметров. Методы поиска бифуркационных значений параметров системы.
Примеры постановок задач управления численностью двух взаимодействующих популяций и методов синтеза стабилизирующих управлений. Примеры постановок задач качественного анализа кооперативных явлений и самоорганизации в производственных и социальных коллективах.
2.2. Анализ моделей ценообразования
Математическая модель механизма ценообразования для двух и более конкурирующих товаров. Положения равновесия системы, анализ их устойчивости и экономический смысл. Решение обратной задачи ценообразования с целью формирования желаемой структуры цен. Устойчивость структуры цен в пространстве параметров системы. Учет интервальных ограничений на параметры. Критерий устойчивости при наличии интервальных ограничений. Построение функций Ляпунова в модели ценообразования. Зависимость поверхностей уровня функции Ляпунова от параметров. Оценка времени переходного процесса. Применение метода Зубова для построения оценки области асимптотической устойчивости положений равновесия системы.
Примеры анализа и управления в системах ценообразования: модель обмена между несколькими производителями; ценообразование для взаимозаменяемых товаров; задача управления запасами; задача конвертации валюты.
Литература
- Андронов А. А. и др. Качественная теория динамических систем второго порядка.--- М., 1966.
- Андронов А. А. и др. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости.--- М., 1967.
- Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости.--- М., 1976.
- Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование.--- М., 1976.
- Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости.--- М., 1967.
- Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования.--- Л., 1974.
- Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения.--- М., 1950.
- Милованов В. П. Обменные процессы: обобщение понятия цены, взаимная динамика оценивающих факторов; теория малых социальных групп // Автоматическое регулирование и управление.--- М., 1986.
- Милованов В. П. Кооперативные явления и самоорганизация в производственных и социальных коллективах // Моделирование социально-экономических процессов.--- М., 1991.
- Милованов В. П. Об одном подходе к моделированю механизмов ценообразования // Экономика и мат. методы.--- 1994.--- Т. 30, вып. 1.--- С. 137--147.
