zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Образование  » Программы курсов  » Дисциплины специализаций » Методы нелинейной теории управляемых динамических систем

Методы нелинейной теории управляемых динамических систем

Специальный курс

Составители: к.ф.-м.н., доцент Екимов А.В.
д.ф.-м.н., проф. Смирнов Н.В.

ЧАСТЬ 1.

Построение решений систем дифференциальных уравнений в виде рядов. Понятие о мажоранте. Теорема Коши. Голоморфность решений по параметру. Теорема Пуанкаре. Голоморфность решений по начальным данным. Теорема Ляпунова.

Фундаментальная матрица линейной системы дифференциальных уравнений и ее свойства. Устойчивость линейных дифференциальных систем. Леммы Гронуолла-Беллмана и Бихари. Устойчивость линейных систем с почти постоянной матрицей. Устойчивость по линейному приближению.

Периодические решения линейных систем с постоянными коэффициентами. Резонансный и нерезонансный случаи. Периодические решения линейных периодических систем. Нерезонансный и резонансный случаи. Теорема Массера. Периодические решения квазилинейных систем. Метод малого параметра. Метод последовательных приближений для построения периодических решений квазилинейных систем.

Ограниченные решения линейных неоднородных систем и их асимптотическое поведение. Конвергенция как свойство ограниченного (периодического) решения нелинейной системы. Метод последовательных приближений для построения периодического решения конвергентных систем. Устойчивость по Лагранжу. Асимптотическое положение покоя дифференциальных систем. Ограниченные решения нелинейных систем. Принцип сжатых отображений. Теорема Боля.

ЧАСТЬ 2.

Понятие о математических моделях систем управления. Система дифференциальных уравнений как важнейший вид математической модели системы управления. Нелинейная управляемая система. Линеаризация уравнений. Физический смысл основных коэффициентов. Примеры.

Общие свойства линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Свойства решений линейных систем. Формула Коши. Поведение интегральных кривых нелинейной системы при неограниченном возрастании времени. Устойчивость по Ляпунову невозмущенных движений. Основные понятия и теоремы второго метода Ляпунова.

Задача программного управления. Критерий Калмана полной управляемости линейных стационарных систем. Построение программных управлений в линейном случае. Постановка задачи программного управления для нелинейных управляемых систем. Теорема о неявных функциях. Метод последовательных приближений нахождения функций и его применение для представления нелинейных программных управлений в виде сходящихся рядов по параметру. Локальная управляемость нелинейной системы. Проблема полной управляемости нелинейной системы. Программные управления в билинейных системах. Достаточные условия полной управляемости билинейных систем.

Проблема синтеза управления. Синтез управлений в линейных системах. Использование вспомогательной линейной системы для синтеза управлений в билинейных системах. Выбор параметров вспомогательной линейной системы на примере системы второго порядка.

Устойчивость программных движений. Постановка задачи стабилизации. Построение стабилизирующих управлений в линейных стационарных и нестационарных системах. Взаимосвязь радиуса устойчивости и запаса устойчивости матрицы линейной системы. Стабилизация семейства программных движений линейной и билинейной управляемой системы. Стабилизация нелинейной системы по линейному и билинейному приближению. Преобразование Ляпунова. Декомпозиция системы на управляемую и неуправляемую подсистемы. Стабилизация в случае неполной управляемости. Стабилизация систем с неполной обратной связью с применением асимптотических идентификаторов состояния.

ЛИТЕРАТУРА

  1. Зубов В.И. Колебания и волны. Л.: ЛГУ, 1989.
  2. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.
  3. Зубов В.И. Теория уравнений управляемого движения. Л.: ЛГУ, 1980.
  4. Зубов В.И. Аналитическая динамика гироскопических систем. Л., 1970.
  5. Зубов В.И. Нелинейные программные управления // Дифф. уравнения. 1979. Т. 15. № 4. С. 734--735.
  6. Зубов В.И. Синтез многопрограммных устойчивых управлений // Докл. АН СССР. 1991. Т. 318. № 2. С. 274-277.
  7. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М., 1950.
  8. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.
  9. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М., 1956.
  10. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.; Л., 1952.
  11. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1954.
  12. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964.
  13. Смирнов Е.Я. Некоторые задачи математической теории управления. Л.: Изд-во ЛГУ, 1981.
  14. Смирнов Н.В. Существование и представление программных управлений в билинейных системах // Вестник ЛГУ 1990. Сер. 1, вып. 4. № 22. C. 85-86.
  15. Смирнов Н.В., Смирнова Т.Е. Стабилизация семейства программных движений билинейной нестационарной системы // Вестник СПбГУ. 1998. Сер. 1, вып. 2. № 8. C. 70--75.