zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Образование  » Программы курсов  » Дисциплины специализаций » Качественный анализ...

Качественный анализ дифференциальных моделей сосуществования видов в биологии

Специальный курс

Лектор: ст. преп. Г.С.Сапрунова

Содержание

Введение
Понятие биологической популяции. Основные подходы к моделированию биологических сообществ. Целесообразность построения математических моделей и идеализации, положенные в их основу. Количественные и качественные характеристики популяций.
Тема 1. Простейшие математические модели популяционной динамики
Изолированная биологическая популяция. Построение уравнения динамики. Модель Мальтуса, закон экспоненциального роста численности. Модель А.Д.Базыкина. Учет особенностей естественного прироста популяции. Критическая численность популяции. Биологическая интерпретация. Учет внутривидовой конкуренции. Модель Гомпертца. Логистическое уравнение Ферхюльста-Пирла. Популяции, подверженные промыслу. Функция приспособленности популяции. Переменная среда. Динамика численности популяции в периодической среде. Нейтральная, стимулирующая и лимитирующая среда.
Тема 2. Элементы качественной теории автономных систем на плоскости
Свойства решений автономных систем. Траектории. Типы траекторий автономных систем на плоскости. Положения равновесия. Линейные системы. Положения равновесия типа узел, седло, фокус и центр. Анализ положений равновесия нелинейных систем по линейному приближению. Проблема центра - фокуса. Теорема Ляпунова. Понятие предельного цикла. Устойчивый, неустойчивый и полуустойчивый предельный цикл. Критерии отсутствия предельных циклов ( Дюлак, Бендиксон ). Теорема Пуанкаре - Бендиксона. Бифуркация рождения предельного цикла. Теорема Хопфа.
Тема 3. Сосуществование двух биологических популяций
Математическая модель двух конкурирующих за общую пищу популяций. Исследование сообщества типа "хищник - жертва". Классическая модель Лотки - Вольтерра. Анализ положений равновесия. Построение интеграла и устойчивость. Колебания численности популяций. Законы Вольтерра (периодичности цикла, сохранения средних значений, смещения средних ). Отсутствие предельных циклов. Обобщение модели "хищник - жертва" путем учета внутривидовой конкуренции и условий среды. Асимптотическая устойчивость положения равновесия. Обобщенная модель А.Н.Колмогорова. Трофическая функция хищника и ее типы. Влияние трофической функции хищника на устойчивость сообщества "хищник - жертва".
Предельные циклы в моделях типа "хищник - жертва". Модели Гинзбурга и Холлинга - Тэннера. Бифуркационный анализ. Построение инвариантной области Пуанкаре - Бендиксона. Модель А.Н.Колмогорова с перекрывающимися поколениями.
Тема 4. Модели взаимодействия нескольких видов
Типы взаимодействия между видами (конкуренция, симбиоз, "хищник - жертва", комменсализм и т.д.). Функции приспособленности популяций. Матрица сообщества. Уравнения экологического баланса. Вольтеровские модели динамики. Анализ устойчивости вольтеровских моделей методом функций Ляпунова. Консервативные и диссипативные системы. Понятие экологической ниши. Динамические уравнения конкуренции. Обобщенные вольтеровские модели. Критерии устойчивости положения равновесия в положительном ортанте.

Литература

  1. А.Ю.Александров, А.В.Платонов, В.Н.Старков, Н.А.Степенко. Математическое моделирование и исследование устойчивости биологических сообществ. СПб, 2006.
  2. Л.А.Петросян, В.В.Захаров. Математические модели в экологии. СПб, СПбГУ, 1997.
  3. А.Д.Базыкин. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. М., Наука, 1985.
  4. Н.Н.Баутин, Е.А.Леонтович. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М., Наука, 1976.
  5. В.Вольтерра. Математическая теория борьбы за существование. Ижевск, 2004.
  6. Л.Р.Гинзбург, Н.Ю.Коновалов, Г.С.Эпельман. Математическая модель взаимодействия двух популяций. // Журнал общей биологии. 1974, т.35, №4,с.613.
  7. А.Н.Колмогоров. Качественное исследование моделей динамики популяций. //Проблемы кибернетики. 1972. Вып.25, с.100-106.
  8. М.Ф.Романов, М.П.Федоров. Математические модели в экологии. СПб, 2003.