Вариационные методы в задачах на собственные значения
Специальный курс
Примеры задач на собственные значения (СЗ) из физики и техники.
Вспомогательные сведения о линейных операторах между гильбертовыми пространствами. Замкнутые, ограниченные, компактные операторы. Сходимость последовательностей ограниченных операторов. Сопряженные операторы и их свойства. Симметричные и самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. Ортопроекторы. Билинейные формы и их связь с операторами. Свойства квадратичной формы самосопряженного ограниченного оператора. Примеры самосопряженных компактных операторов (СКО): конечномерный оператор, интегральный оператор Фредгольма.
Задача о собственных значениях самосопряженного компактного оператора. Существование СЗ и полной ортонормированной системы собственных элементов у ненулевого СКО. Вариационные характеристики собственных значений СКО. Сравнение СЗ двух СКО. Задача о собственных значениях СКО, заданного билинейной формой. Решение задачи о собственных значениях СКО методом Ритца: формулировка метода, расчетные уравнения, сходимость. Фундаментальное свойство приближенных СЗ в методе Ритца. Метод Ритца для оператора, заданного билинейной формой.
Задача о собственных значениях симметричного положительно определенного оператора (СПОО) с дискретным спектром. Энергетическое пространство СПОО. Обобщенная постановка задачи о собственных значениях СПОО. Существование СЗ и полной ортонормированной системы собственных элементов у СПОО с дискретным спектром. Сравнение СЗ двух СПОО. Нахождение обобщенных собственных значений и элементов СПОО методом Ритца: формулировка метода, расчетные уравнения, сходимость. Основное свойство приближенных СЗ в методе Ритца для СПОО. Применение метода Ритца к задачам на СЗ для обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го и 4-го порядков.
Методы промежуточных задач решения задачи о собственных значениях СПОО. Метод Бэзли-Фокса: базовая задача, промежуточные задачи, расчетные уравнения, сходимость, специальный выбор координатных элементов. Срезка базового оператора. Методы Бэзли-Фокса с прямой и обратной срезками: формулировка методов, расчетные уравнения, сходимость. Применение метода Бэзли-Фокса к задачам на СЗ для обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го и 4-го порядков.
Литература
- Гулд С. Вариационные методы в задачах о собственных значениях. М.: Мир, 1970. 328 с.
- Коллатц Л. Задачи на собственные значения. М.: Наука, 1968. 503 с.
- Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. 512 с.
- Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985. 590 с.
- Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 495 с.
- Позняк Л.Т. Новая процедура срезания в методе Бэзли-Фокса // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1977. Т.17, № 1. С.24-41
