zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Образование  » Программы курсов  » Дисциплины специализаций » Выпуклый анализ

Выпуклый анализ

Специальный курс

Составитель: д.ф.-м.н., пpофессоp Полякова Л.Н.

Выпуклые множества.
Определения линейной, аффинной,конической, выпуклой линейных комбинаций; аффинного, выпуклого множеств; конуса, выпуклой оболочки, многогранного множества, симплекса. Определения суммы, геометрической разности выпуклых множеств и их основные свойства. Теоремы Каратеодори и Родона. Теорема Хелли.

Топологические свойства выпуклых множеств.
Определения замыкания, внутренности, относительной внутренности, относительной границы, размерности выпуклых множеств. Основные свойства выпуклых множеств. Определения крайних точек и фасада выпуклого множества. Теоремы Крейна-Мильмана и Страшевича.

Многозначные отображения.
Основные определения и свойства многозначных отображений. Метрика Хаусдорфа и аппроксимация компактных выпуклых множеств. Непрерывность многозначных отображений по Хаусдорфу, по Какутани.

Выпуклые функции.
Определения выпуклой, строго выпуклой, сильно выпуклой, собственной, несобственной функций; эффективной области, надграфика выпуклой функции; выпуклой оболочки произвольного семейства функций. Достаточный признак выпуклости дифференцируемой функции. Основные теоремы об операциях над выпуклыми функциями.

Выпуклые конусы.
Теоремы об пересечении, суммы выпуклых конусов. Определения конуса возможных направлений, сопряженного, нормального конусов. Условия регулярности выпуклых множеств. Поляры выпуклых множеств.

Непрерывность выпуклых функций.
Теоремы о непрерывности и липшицевости выпуклых функций.

Теоремы отделимости.
Теоремы об отделимости точки и выпуклого множества. Теоремы об отделимости двух выпуклых множеств.

Сопряженные,опорные, калибровочные функции Минковского.
Определения и основные теоремы. Теорема о представлении выпуклой функции как поточечный супремум совокупности всех аффинных функций. Двойственные операции.

Производная по направлениям выпуклой функции.
Теоремы о существовании производной по направлениям выпуклой функции.

Субдифференциал выпуклой функции.
Определения субдифференциала и субградиента выпуклой функции. Субдифференциальное исчисление. Неравенство Юнга-Фенхеля. Связь между производной по направлению и субдифференциалом выпуклой функции. Непрерывность и монотонность субдифференциала.

ε-субдифференциал и ε-производная по направлениям выпуклой функции.
Определения ε-субдифференциала и ε- субградиента выпуклой функции. ε - субдифференциальное исчисление. Непрерывность ε- субдифференциального отображения.

Экстремальные свойства выпуклых функций.
Необходимые и достаточные условия минимума выпуклой функции на всем пространстве и при наличии выпуклых ограничений. Теорема Куна-Таккера. ε-стационарные точки. Максимум выпуклой функции при наличии выпуклых ограничений.

Задача выпуклого программирования.
Постановка задачи выпуклого программирования. Классификация задач выпуклого программирования. Функция Лагранжа и двойственность в выпуклом программировании.

Метод обобщенного градиентного спуска.
Mинимизации выпуклой функции на всем пространстве и при наличии выпуклых ограничений.

Разность выпуклых функций.
Необходимые и достаточные условия экстремума разности выпуклых функций. Минимизация разности выпуклых функций.

Литеpатуpа

  1. Астафьев Н.Н. Линейные неравенства и выпуклость.- М.: Наука, 1982.- 153 с.
  2. Ашманов С.А., Тимохов А.В. Теория оптимизации в задачах и упражнениях.- М.: Наука, 1991.- 448 с.
  3. Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация.- М.: Наука, 1981.- 383 с.
  4. Еремин И.И., Астафьев Н.Н. Введение в теорию линейного и выпуклого программирования.- М.: Наука, 1976.- 192 с.
  5. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач.- М.: Наука, 1974. - 479 с.
  6. Лейхтвейс К. Выпуклые множества.- М.: Наука, 1985. - 335 с.
  7. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию.- М.: Наука, 1983. - 384 с.
  8. Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума.- М.: Наука, 1969.- 151 с.
  9. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи.- М.: Наука, 1980.- 320 с.
  10. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ.- М.: Мир, 1973.- 472 с.
  11. Hiriart-Urruty J.B., Lemarechal C. Convex analysis and Minimization algorithms. Springer-Verlag, 1993. Vol.I.- 420 p. Vol.II.- 348 p.