Общая задача об устойчивости движения
Специальный курс для студентов III курса объемом 64 час.
1. Основные понятия математической теории устойчивости.
Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений. Свойство интегральной непрерывности решений и продолжаемости решений. Устойчивость относительно начальных данных и относительно постоянно действующих возмущений. Орбитальная устойчивость (по Пуанкаре), устойчивость по Жуковскому, практическая устойчивость. Определения устойчивости и асимптотической устойчивости решения по Ляпунову. Равномерная устойчивость. Асимптотическая устойчивость в целом. Область асимптотической устойчивости. Система в отклонениях, устойчивость (неустойчивость) нулевого решения системы.
2. Устойчивость линейных систем.
Устойчивые (вполне устойчивые) и неустойчивые линейные системы дифференциальных уравнений. Связь устойчивости неоднородной и соответствующей однородной системы. Зависимость устойчивости (неустойчивости) всех решений линейной системы от устойчивости (неустойчивости) отдельно взятого решения. Связь устойчивости и асимптотической устойчивости линейной однородной системы с ограниченностью всех ее решений. Критерии устойчивости и асимптотической устойчивости линейных однородных систем с постоянной матрицей в терминах характеристических чисел матрицы системы. Стандартные полиномы и полиномы Гурвица. Присоединенные полиномы и их свойства. Матрица Гурвица. Критерий Рауса-Гурвица. Годограф Михайлова и критерий Михайлова. Понятие о робастной устойчивости, интервальные полиномы. Теорема Харитонова об устойчивости интервального полинома. Лемма Гронуолла-Беллмана и ее обобщения. Устойчивость линейных систем с почти постоянной матрицей. Устойчивость линейной системы с полиномиальными коэффициентами.
3. Первый метод Ляпунова.
Характеристические показатели функций и их свойства. Характеристические показатели матриц и их свойства. Спектр линейной однородной системы. Достаточное условие асимптотической устойчивости линейной дифференциальной системы в терминах характеристических показателей. Неравенство Важевского. Нормальные фундаментальные системы решений. Теорема Ляпунова о построении нормальной фундаментальной системы решений. Правильные системы. Неравенство Ляпунова. Теорема Перрона о необходимых и достаточных условиях правильности линейной однородной системы. Преобразование Ляпунова. Правильность треугольной линейной системы. Теорема Ляпунова о правильности линейной треугольной системы. Ряды Ляпунова в представлении решений. Формальное построение рядов. Сходимость рядов Ляпунова. Оценка матрицы Коши для правильной системы. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.
Основная литература
- Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. - М: ИЛ, 1954.
- Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. - М.: Наука, 1967.
- Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. - М.: Изд-во АН СССР, 1948.
- Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. - М.: Наука., 1966.
- Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. - М.: Наука, 1971.
- Филатов А.Н. Теория устойчивости. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 220 с. 2003.
- Харитонов В.Л. Асимптотическая устойчивость семейства систем линейных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения, 1978, т.14, ©11, с.2086-2088.
Дополнительная литература
- Александров А.Ю., Александрова Е.Б., Екимов А.В., Смирнов Н.В. Сборник задач и упражнений по устойчивости. - СПб, 2003.
- Блистанова Л.Д., Зубов И.В., Зубов Н.В., Северцев Н.А. Конструктивные методы теории устойчивости и их применение к задачам численного анализа. СПб, 2002.
- Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. - М.: Наука, 1979.
- Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Мир, 1964.
Примерный перечень вопросов к экзамену по всему курсу
- Предмет теории устойчивости. Различные типы устойчивости: орбитальная устойчивость (по Пуанкаре), устойчивость по Жуковскому, практическая устойчивость. Неустойчивость.
- Определения устойчивости и асимптотической устойчивости решения по Ляпунову. Равномерная устойчивость. Асимптотическая устойчивость в целом.
- Область асимптотической устойчивости. Система в отклонениях, устойчивость (неустойчивость) нулевого решения системы.
- Устойчивые (вполне устойчивые) и неустойчивые линейные системы дифференциальных уравнений. Связь устойчивости неоднородной и соответствующей однородной системы.
- Зависимость устойчивости (неустойчивости) всех решений линейной системы от устойчивости (неустойчивости) отдельно взятого решения.
- Связь устойчивости и асимптотической устойчивости линейной однородной системы с ограниченностью всех ее решений.
- Критерии устойчивости и асимптотической устойчивости линейных однородных систем с постоянной матрицей в терминах характеристических чисел матрицы системы.
- Стандартные полиномы и полиномы Гурвица. Присоединенные полиномы и их свойства. Матрица Гурвица. Критерий Рауса-Гурвица.
- Годограф Михайлова и критерий Михайлова.
- Понятие о робастной устойчивости, интервальные полиномы. Теорема Харитонова об устойчивости интервального полинома.
- Лемма Гронуолла-Беллмана и ее обобщения.
- Устойчивость линейных систем с почти постоянной матрицей.
- Устойчивость линейной системы с полиномиальными коэффициентами.
- Характеристические показатели функций и их свойства.
- Спектр линейной однородной системы.
- Достаточное условие асимптотической устойчивости линейной дифференциальной системы в терминах характеристических показателей.
- Неравенство Важевского.
- Нормальные фундаментальные системы решений. Теорема Ляпунова о построении нормальной фундаментальной системы решений.
- Правильные системы. Неравенство Ляпунова.
- Теорема Перрона о необходимых и достаточных условиях правильности линейной однородной системы.
- Преобразование Ляпунова. Правильность треугольной линейной системы. Теорема Ляпунова о правильности линейной треугольной системы.
- Ряды Ляпунова в представлении решений. Формальное построение рядов. Сходимость рядов Ляпунова.
- Оценка матрицы Коши для правильной системы.
- Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.