Общая задача об устойчивости движения

Специальный курс для студентов III курса объемом 64 час.

Лектор: профессор, д.ф.-м.н. Ногин В. Д.

1. Основные понятия математической теории устойчивости.

Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений. Свойство интегральной непрерывности решений и продолжаемости решений. Устойчивость относительно начальных данных и относительно постоянно действующих возмущений. Орбитальная устойчивость (по Пуанкаре), устойчивость по Жуковскому, практическая устойчивость. Определения устойчивости и асимптотической устойчивости решения по Ляпунову. Равномерная устойчивость. Асимптотическая устойчивость в целом. Область асимптотической устойчивости. Система в отклонениях, устойчивость (неустойчивость) нулевого решения системы.

2. Устойчивость линейных систем.

Устойчивые (вполне устойчивые) и неустойчивые линейные системы дифференциальных уравнений. Связь устойчивости неоднородной и соответствующей однородной системы. Зависимость устойчивости (неустойчивости) всех решений линейной системы от устойчивости (неустойчивости) отдельно взятого решения. Связь устойчивости и асимптотической устойчивости линейной однородной системы с ограниченностью всех ее решений. Критерии устойчивости и асимптотической устойчивости линейных однородных систем с постоянной матрицей в терминах характеристических чисел матрицы системы. Стандартные полиномы и полиномы Гурвица. Присоединенные полиномы и их свойства. Матрица Гурвица. Критерий Рауса-Гурвица. Годограф Михайлова и критерий Михайлова. Понятие о робастной устойчивости, интервальные полиномы. Теорема Харитонова об устойчивости интервального полинома. Лемма Гронуолла-Беллмана и ее обобщения. Устойчивость линейных систем с почти постоянной матрицей. Устойчивость линейной системы с полиномиальными коэффициентами.

3. Первый метод Ляпунова.

Характеристические показатели функций и их свойства. Характеристические показатели матриц и их свойства. Спектр линейной однородной системы. Достаточное условие асимптотической устойчивости линейной дифференциальной системы в терминах характеристических показателей. Неравенство Важевского. Нормальные фундаментальные системы решений. Теорема Ляпунова о построении нормальной фундаментальной системы решений. Правильные системы. Неравенство Ляпунова. Теорема Перрона о необходимых и достаточных условиях правильности линейной однородной системы. Преобразование Ляпунова. Правильность треугольной линейной системы. Теорема Ляпунова о правильности линейной треугольной системы. Ряды Ляпунова в представлении решений. Формальное построение рядов. Сходимость рядов Ляпунова. Оценка матрицы Коши для правильной системы. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

Основная литература

Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. - М: ИЛ, 1954.
Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. - М.: Наука, 1967.
Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. - М.: Изд-во АН СССР, 1948.
Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. - М.: Наука., 1966.
Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. - М.: Наука, 1971.
Филатов А.Н. Теория устойчивости. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 220 с. 2003.
Харитонов В.Л. Асимптотическая устойчивость семейства систем линейных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения, 1978, т.14, ©11, с.2086-2088.

Дополнительная литература

Александров А.Ю., Александрова Е.Б., Екимов А.В., Смирнов Н.В. Сборник задач и упражнений по устойчивости. - СПб, 2003.
Блистанова Л.Д., Зубов И.В., Зубов Н.В., Северцев Н.А. Конструктивные методы теории устойчивости и их применение к задачам численного анализа. СПб, 2002.
Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. - М.: Наука, 1979.
Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Мир, 1964.

Примерный перечень вопросов к экзамену по всему курсу

Предмет теории устойчивости. Различные типы устойчивости: орбитальная устойчивость (по Пуанкаре), устойчивость по Жуковскому, практическая устойчивость. Неустойчивость.
Определения устойчивости и асимптотической устойчивости решения по Ляпунову. Равномерная устойчивость. Асимптотическая устойчивость в целом.
Область асимптотической устойчивости. Система в отклонениях, устойчивость (неустойчивость) нулевого решения системы.
Устойчивые (вполне устойчивые) и неустойчивые линейные системы дифференциальных уравнений. Связь устойчивости неоднородной и соответствующей однородной системы.
Зависимость устойчивости (неустойчивости) всех решений линейной системы от устойчивости (неустойчивости) отдельно взятого решения.
Связь устойчивости и асимптотической устойчивости линейной однородной системы с ограниченностью всех ее решений.
Критерии устойчивости и асимптотической устойчивости линейных однородных систем с постоянной матрицей в терминах характеристических чисел матрицы системы.
Стандартные полиномы и полиномы Гурвица. Присоединенные полиномы и их свойства. Матрица Гурвица. Критерий Рауса-Гурвица.
Годограф Михайлова и критерий Михайлова.
Понятие о робастной устойчивости, интервальные полиномы. Теорема Харитонова об устойчивости интервального полинома.
Лемма Гронуолла-Беллмана и ее обобщения.
Устойчивость линейных систем с почти постоянной матрицей.
Устойчивость линейной системы с полиномиальными коэффициентами.
Характеристические показатели функций и их свойства.
Спектр линейной однородной системы.
Достаточное условие асимптотической устойчивости линейной дифференциальной системы в терминах характеристических показателей.
Неравенство Важевского.
Нормальные фундаментальные системы решений. Теорема Ляпунова о построении нормальной фундаментальной системы решений.
Правильные системы. Неравенство Ляпунова.
Теорема Перрона о необходимых и достаточных условиях правильности линейной однородной системы.
Преобразование Ляпунова. Правильность треугольной линейной системы. Теорема Ляпунова о правильности линейной треугольной системы.
Ряды Ляпунова в представлении решений. Формальное построение рядов. Сходимость рядов Ляпунова.
Оценка матрицы Коши для правильной системы.
Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.