Математические методы исследования устойчивости семейства систем дифференциальных и разностных уравнений
Специальный курс
Семейства аналитических функций, проблема расположения корней. Теорема о непрерывной зависимости корней от параметров. Принцип исключения нуля. Критерий Шура-Кона для полиномов. Критерий Рауса-Гурвица для полиномов. Критерий Льенара-Шипара. Приложения для изучения поведения и качественных свойств решений систем дифференциальных и разностных уравнений. Интервальные полиномы, реберная теорема, теорема Харитонова. Поведение корней целых функций, зависящих от параметров. Квазиполиномы и их приложение к изучению устойчивости линейных систем дифференциально-разностных уравнений. Условия Эрмита-Билера.
Подготовительная теорема Вейерштрасса. Поведение корней семейства алгебраических функций, зависящих от одного параметра. Диаграмма Ньютона. Основные теоремы об аналитической зависимости корней от параметра.
Матричный подход к решению проблемы устойчивости для систем с параметрической неопределенностью. Матрицы с аналитическими коэффициентами. Теорема о радиусе невырожденности матрицы. Обобщение теоремы Руше на случай определителей аналитических матриц и семейств таких матриц. Обобщение принципа исключения нуля. Системы с параметрической неопределённостью. Оценка радиуса локальной устойчивости для системы дифференциально-разностных уравнений с конечным числом запаздываний. Метод последовательных приближений для определения полной области параметрической устойчивости в случае одного параметра.
Гироскопические системы с запаздываниями. Необходимые условия устойчивости по Ляпунову. Достаточные условия асимптотической устойчивости по Ляпунову, оценка на большой параметр. Построение полной области изменения значений параметра с помощью метода последовательных приближений.
Абсолютная устойчивость систем дифференциально-разностных уравнений по запаздываниям. Сведение исследования абсолютной устойчивости семейства квазиполиномов к исследованию устойчивости семейства полиномов специфического вида.
Литература
- Белман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. - М.: Мир, 1967. 548 с.
- Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. - М.: Наука, 1969. 528 с.
- Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. - М.: Наука, 1968, 648 с.
- Зубов В.И. Аналитическая динамика гироскопических систем. - Л.: Судостроение, 1970. 318 с.
- Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Физматгиз, 1968. 680 с.
- Хейман У. Мероморфные функции. - М.: Мир, 1966. 288 с.
- Чеботарёв Н.Г, Мейман Н.Н. Проблема Рауса-Гурвица для полиномов и целых функций. - М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1949. 332 с.
- Чеботарёв Н.Г. Теория алгебраических функций. - М.; Л.: Гостехиздат, 1948. 396 с.
