Математический анализ динамических систем
Специальный курс
1. Основы теории метрических и нормированных пространств
- Метрические пространства. Компактные и вполне ограниченные множества. Отображения компактных множеств. Примеры конкретных метрических пространств: B(X,Y), C(X,Y). Функциональные модели метрических пространств.
- Линейные множества и нормированные пространства. Теорема о продолжении линейного функционала. Теорема о замкнутом графике. Векторные модели нормированных пространств. Гильбертовы пространства и теория Фурье. Примеры конкретных гильбертовых пространств.
- Представление линейных операторов в конкретных пространствах. Теоремы Рисса.
2. Теоремы о неподвижных точках.
- Принцип сжатых отображений, обобщение сжатия, равномерное сжатие.
- Неявные и обратные функции, теорема существования и гладкости.
- Теоремы Брауэра и Шаудера. Применение: матрица с положительными элементами, теорема Нэша о равновесии.
3. Непрерывные динамические системы
- Классификация траекторий, различные виды устойчивости, рекуррентные траектории.
- Устойчивые по Пуассону траектории на плоскости.
- Почти периодические траектории, почти периодические функции. Пространство почти периодических функций с метрикой С и метрикой H.
- Эргодическая теория. Эргодические теоремы, предельные теоремы теории вероятностей как следствие эргодических теорем.
Литература:
- Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Т.1. М., 1962.
- Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М., 1949.
- Ковригин А.Б. Математический анализ динамических систем. Л., 1980.