zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Образование  » Программы курсов  » Дисциплины специализаций » Математический анализ динамических систем

Математический анализ динамических систем

Специальный курс

Составитель: кандидат физ-мат наук, доцент Ковригин А.Б.

1. Основы теории метрических и нормированных пространств

  1. Метрические пространства. Компактные и вполне ограниченные множества. Отображения компактных множеств. Примеры конкретных метрических пространств: B(X,Y), C(X,Y). Функциональные модели метрических пространств.
  2. Линейные множества и нормированные пространства. Теорема о продолжении линейного функционала. Теорема о замкнутом графике. Векторные модели нормированных пространств. Гильбертовы пространства и теория Фурье. Примеры конкретных гильбертовых пространств.
  3. Представление линейных операторов в конкретных пространствах. Теоремы Рисса.

2. Теоремы о неподвижных точках.

  1. Принцип сжатых отображений, обобщение сжатия, равномерное сжатие.
  2. Неявные и обратные функции, теорема существования и гладкости.
  3. Теоремы Брауэра и Шаудера. Применение: матрица с положительными элементами, теорема Нэша о равновесии.

3. Непрерывные динамические системы

  1. Классификация траекторий, различные виды устойчивости, рекуррентные траектории.
  2. Устойчивые по Пуассону траектории на плоскости.
  3. Почти периодические траектории, почти периодические функции. Пространство почти периодических функций с метрикой С и метрикой H.
  4. Эргодическая теория. Эргодические теоремы, предельные теоремы теории вероятностей как следствие эргодических теорем.

Литература:

  1. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Т.1. М., 1962.
  2. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М., 1949.
  3. Ковригин А.Б. Математический анализ динамических систем. Л., 1980.