Применение топологических методов в механике

Специальный курс

Лектор: д.ф.-м.н, профессор Кирпичников С.Н.

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

Рохлин В.А., Фукс Д.В. Начальный курс топологии. Геометрические главы. М.: Наука, 1977. 488 с.
Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989.472 с.
Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1980. 440 с.
Введение в топологию / Ю.Г.Борисович, Н.М.Близняков и др. М.:Высшая школа, 1980.
Смейл С. Топология и механика // Успехи математических наук. 1972. Том XXVII, вып. 2(164).
Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1989. 472 с.
Нитецки З. Введение в дифференциальную динамику. М.: Мир, 1975. 304 с.
Девятая летняя математическая школа. Киев: Изд-во Ин-та математики АН УССР, 1972.
Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология: Начальный курс. М.: Мир, 1972. 278 с.

Глава 1. Основы алгебраической и дифференциальной топологии.

Дополнительная литература

Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: Мир, 1970. 412 с.

Свободные и несвободные группы. Коммутирование. Подгруппа кручения и ранг группы. Фундаментальная группа топологического пространства. Функториальность. Перенос начала. Одномерная группа гомологий и понятие о многомерных группах гомологий. Числа Бетти. Односвязность. Примеры. Фундаментальная группа произведения. Накрытия. Примеры. Механические приложения - переход к евклидову фазовому пространству механической системы с неодносвязным пространством конфигураций. Число листов накрытия. Теорема о накрывающем пути. Фундаментальные группы простых пространств. Фундаментальная группа и одномерная группа гомологий букета окружностей. Дифференцируемые многообразия, их гладкие отображения. Римановы многообразия.

Геодезические. Гладкие отображения. Многообразия с краем. Подмногообразия. Вложение многообразий. Касательные пространства и критические точки.

Теорема Сарда. Теорема Брауэра о неподвижной точке. Степень отображения. Дифференциальные уравнения на многообразиях. Структурная устойчивость. Векторные поля и эйлерова характеристика. Случай двумерных многообразий. Теорема о существовании замкнутых геодезических.

Глава 2. Применение топологических методов в механике.

Дополнительная литература

Шапиро И.С., Ольшанецкий М.А. Лекции по топологии для физиков. Ижевск: Изд. дом "Удмуртский ун-т", 1999. 132 с.

Периодические движения механической системы, определяемые топологией ее пространства конфигураций. Лагранжевы и гамильтоновы механические системы. Теорема о существовании периодических движений у лагранжевой механической системы, пространство конфигураций которой неодносвязно. Функции Морса и индексы Морса. Оценки числа и типов положений равновесия лагранжевой механической системы, даваемые неравенствами Морса. Примеры: двойной маятник, твердое тело с неподвижной точкой.

Глава 3. Конечные клеточные пространства.

Дополнительная литература

Коснёвски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. М.: Мир,1983. 304 с.

Накрытия. Универсальные накрытия. Конечные клеточные пространства и клеточные разбиения и их свойства. Фундаментальная группа конечного клеточного пространства. Фундаментальные группы двумерных замкнутых многообразий. Сферы с ручками и сферы с пленками. Топологические многообразия и их триангуляции. Эйлерова характеристика и ориентируемость. Теорема о приведении. Теорема о классификации двумерных замкнутых многообразий. Теория гомологий. Гомологии симплициальных комплексов и полиэдров. Сингулярная теория гомологий. Гомологии сфер. Степень отображения. Гомологии клеточного комплекса. Эйлерова характеристика и число Лефшеца.

Глава 4. Топология и гамильтонова механика.

Механические системы с симметрией. Механические системы с симметрией. Гамильтоновы фазовые потоки в задаче с центральной силой и в задаче с 2 степенями свободы и симметрией. Эффективный потенциал и бифуркация. Топология интегральных многообразий.