Топология и механика
Специальный курс
ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА
- А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. (Топологические разделы).
- Введение в топологию. Ю.Г.Борисович,Н.М.Близняков и др. М.: Высшая школа, 1980.
- В.А.Рохлин, Д.Б.Фукс. Начальный курс топологии. Геометрические главы. М.: Наука,1977.
- П.С.Александров. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: Наука, 1977.
- С.Н.Кирпичников, В.С.Новоселов. Математические аспекты кинематики твердого тела: Учебное пособие. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1986. 252 с.
- О.Я.Виро, О.А.Иванов, Н.Ю.Нецветаев, В.М.Харламов. Задачи по топологии. Л.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2000. 208 с.
Глава 1. ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ
Дополнительная литература
- Куратовский К. Топология. М.: Мир. Т.1. 1966. Т.2. 1969.
- Топологические пространства. (Определение топологии. Сравнение топологий. База топологии.)
- Простейшие свойства топологических пространств. (Внутренняя и внешняя части, замыкание, граница и край множества. Предельные и изолированные точки. Всюду плотные и нигде не плотные множества. Категории по Бэру. Механические примеры.)
- Топология метрических пространств. (Метрические, нормированные и евклидовы пространства. Топология метрического пространства.Топологическая эквивалентность конечномерных нормированных пространств. Метризуемость.)
- Относительная топология. Подпространства.
- Отображения топологических пространств. (Свойства отображений. Непрерывные отображения. Гомеоморфизмы. Примеры. Включения, сужения и приведения отображений. Вложения и погружения. Фундаментальные покрытия. Механические приложения.)
- Связность и линейная связность. (Связность. Пути в топологическом пространстве.Линейная связность. Соотношение связности и линейной связности.)
- Аксиомы отделимости и счетности. (Первая, вторая третья и четвертая аксиомы отделимости. Нормальность и регулярность. Первая и вторая аксиомы счетности. Сепарабельность.)
- Секвенциальные замыкание и непрерывность.
- Компактность. (Эквивалентные определения компактности и счетной компактности. Секвенциальная компактность. Компакты и их свойства. Поведение компактности при отображениях. Компактность в метрических и евклидовых пространствах. Локальная компактность.
Глава 2. Конструкции.
Дополнительная литература
- Архангельский А.В., Пономарев В.И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. М.: Наука, 1980.
- Компактные расширения. Теорема П.С.Александрова об одноточечной компактификации.)
- Произведение топологических пространств. (Определение произведения. Слои. Проекции на сомножители. Произведение отображений. Свойства произведения топологических пространств. Механические приложения: теорема Колмогорова об устойчивости движения гамильтоновых механических систем.)
- Тихоновское произведение топологических пространств. Различные топологии в пространствах непрерывных отображений.
- Факторпространства. (Факторпространства по разбиениям и отображениям. Примеры: тор, бутылка Клейна, лист Мёбиуса, вещественные проективные пространства. Механические приложения - пространство конфигураций и фазовое пространство твердого тела с неподвижной точкой.)
- Разрезание и склеивание топологических пространств. (Оперделения и свойства разрезания и склеивания. Примеры. Сфера с p ручками и сфера с q пленками.)
Глава 3. Элементы алгебраической и дифференциальной топологии.
Дополнительная литература
- Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1980.
- Баккельман И.Я. и др. Введение в дифференциальную геометрию "в целом". М.: Наука, 1973.
- Гомотопия. (Свободная гомотопия. Гомотопические классы отображений. Взаимно-обратные гомотопические эквивалентности. Гомотопически эквивалентные пространства. Стягиваемые пространства. Связанная гомотопия. Ретракция. Ретракты, деформационные и сильные деформационные ретракты. Примеры и механические приложения.)
- Фундаментальная группа. (Гомотопические свойства умножения путей. Определение фундаментальной группы. Индуцированный гомоморфизм. Функториальность.
- Перенос начала. (Определение переноса начала. Зависимость переноса начала от пути. Коммутирование фундаментальной группы. Одномерная группа гомологий.
- Фундаментальная группа произведения пространств.
- Односвязность.
- Накрытия. (Определения. Примеры. Механические приложения: математический маятник и др. Теорема о накрывающем пути.)
- Вычисление фундаментальных групп некоторых пространств. (Окружность. Тор. Вещественное проективное пространство. Букет окружностей.)
- Конечные клеточные пространства. (Определение клеточных пространств и клеточных разбиений. Остовы. Примеры. Свойства клеточных пространств.
- Фундаментальная группа конечного клеточного пространства. (Формулировки теорем. Примеры. Доказательства теорем.)
- Вычисление фундаментальных групп сфер с ручками и сфер с пленками.
- Двумерные многообразия. (Топологические многообразия.Классификация замкнутых двумерных многообразий. Ориентируемость и эйлерова характеристика. Механические приложения: свойства векторных полей на двумерных замкнутых многообразиях.)
- Гладкие многообразия, их основные свойства и механические приложения.