zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Образование  » Программы курсов  » Дисциплины специализаций » Топология и механика

Топология и механика

Специальный курс

Составитель: д.ф.-м.н, профессор Кирпичников С.Н.

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

  1. А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. (Топологические разделы).
  2. Введение в топологию. Ю.Г.Борисович,Н.М.Близняков и др. М.: Высшая школа, 1980.
  3. В.А.Рохлин, Д.Б.Фукс. Начальный курс топологии. Геометрические главы. М.: Наука,1977.
  4. П.С.Александров. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: Наука, 1977.
  5. С.Н.Кирпичников, В.С.Новоселов. Математические аспекты кинематики твердого тела: Учебное пособие. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1986. 252 с.
  6. О.Я.Виро, О.А.Иванов, Н.Ю.Нецветаев, В.М.Харламов. Задачи по топологии. Л.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2000. 208 с.

Глава 1. ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ

Дополнительная литература

  1. Куратовский К. Топология. М.: Мир. Т.1. 1966. Т.2. 1969.
  1. Топологические пространства. (Определение топологии. Сравнение топологий. База топологии.)
  2. Простейшие свойства топологических пространств. (Внутренняя и внешняя части, замыкание, граница и край множества. Предельные и изолированные точки. Всюду плотные и нигде не плотные множества. Категории по Бэру. Механические примеры.)
  3. Топология метрических пространств. (Метрические, нормированные и евклидовы пространства. Топология метрического пространства.Топологическая эквивалентность конечномерных нормированных пространств. Метризуемость.)
  4. Относительная топология. Подпространства.
  5. Отображения топологических пространств. (Свойства отображений. Непрерывные отображения. Гомеоморфизмы. Примеры. Включения, сужения и приведения отображений. Вложения и погружения. Фундаментальные покрытия. Механические приложения.)
  6. Связность и линейная связность. (Связность. Пути в топологическом пространстве.Линейная связность. Соотношение связности и линейной связности.)
  7. Аксиомы отделимости и счетности. (Первая, вторая третья и четвертая аксиомы отделимости. Нормальность и регулярность. Первая и вторая аксиомы счетности. Сепарабельность.)
  8. Секвенциальные замыкание и непрерывность.
  9. Компактность. (Эквивалентные определения компактности и счетной компактности. Секвенциальная компактность. Компакты и их свойства. Поведение компактности при отображениях. Компактность в метрических и евклидовых пространствах. Локальная компактность.

Глава 2. Конструкции.

Дополнительная литература

  1. Архангельский А.В., Пономарев В.И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. М.: Наука, 1980.
  1. Компактные расширения. Теорема П.С.Александрова об одноточечной компактификации.)
  2. Произведение топологических пространств. (Определение произведения. Слои. Проекции на сомножители. Произведение отображений. Свойства произведения топологических пространств. Механические приложения: теорема Колмогорова об устойчивости движения гамильтоновых механических систем.)
  3. Тихоновское произведение топологических пространств. Различные топологии в пространствах непрерывных отображений.
  4. Факторпространства. (Факторпространства по разбиениям и отображениям. Примеры: тор, бутылка Клейна, лист Мёбиуса, вещественные проективные пространства. Механические приложения - пространство конфигураций и фазовое пространство твердого тела с неподвижной точкой.)
  5. Разрезание и склеивание топологических пространств. (Оперделения и свойства разрезания и склеивания. Примеры. Сфера с p ручками и сфера с q пленками.)

Глава 3. Элементы алгебраической и дифференциальной топологии.

Дополнительная литература

  1. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1980.
  2. Баккельман И.Я. и др. Введение в дифференциальную геометрию "в целом". М.: Наука, 1973.
  1. Гомотопия. (Свободная гомотопия. Гомотопические классы отображений. Взаимно-обратные гомотопические эквивалентности. Гомотопически эквивалентные пространства. Стягиваемые пространства. Связанная гомотопия. Ретракция. Ретракты, деформационные и сильные деформационные ретракты. Примеры и механические приложения.)
  2. Фундаментальная группа. (Гомотопические свойства умножения путей. Определение фундаментальной группы. Индуцированный гомоморфизм. Функториальность.
  3. Перенос начала. (Определение переноса начала. Зависимость переноса начала от пути. Коммутирование фундаментальной группы. Одномерная группа гомологий.
  4. Фундаментальная группа произведения пространств.
  5. Односвязность.
  6. Накрытия. (Определения. Примеры. Механические приложения: математический маятник и др. Теорема о накрывающем пути.)
  7. Вычисление фундаментальных групп некоторых пространств. (Окружность. Тор. Вещественное проективное пространство. Букет окружностей.)
  8. Конечные клеточные пространства. (Определение клеточных пространств и клеточных разбиений. Остовы. Примеры. Свойства клеточных пространств.
  9. Фундаментальная группа конечного клеточного пространства. (Формулировки теорем. Примеры. Доказательства теорем.)
  10. Вычисление фундаментальных групп сфер с ручками и сфер с пленками.
  11. Двумерные многообразия. (Топологические многообразия.Классификация замкнутых двумерных многообразий. Ориентируемость и эйлерова характеристика. Механические приложения: свойства векторных полей на двумерных замкнутых многообразиях.)
  12. Гладкие многообразия, их основные свойства и механические приложения.