zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Образование  » Программы курсов  » Дисциплины специализаций » Метод неподвижной точки...

Метод неподвижной точки в теории динамических систем

Специальный курс

Лектор: д.ф.-м.н, профессор Камачкин А.М.

Часть I. ПРИНЦИП НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ

Принцип сжатых отображений и его приложения (теорема Пикара, существование и единственность решения интегрального уравнения, применение к уравнениям в частных производных). Теорема Боля-Брауэра. Обобщение принципа сжатых отображений, принцип неподвижной точки Шаудера, его приложения (теорема Пеано, решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, применение теоремы Шаудера к монотонным операторам). Теорема Маркова-Какутани и её приложения. Теорема о неподвижной точке для общего итерационного метода решения дифференциальных уравнений. Итерационные методы для систем уравнений. Применение второй теоремы Шаудера к нелинейным дифференциальным уравнениям.

Часть II. КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ МЕТОДОМ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ

Виды траекторий и их предельное поведение. Предельные циклы. Основы теории одномерных точечных преобразований, функции последования, типы неподвижных точек, исследование окрестностей неподвижных точек. Приложение принципа Шаудера к исследованию автономных неоднозначных динамических систем. Теория многомерных точечных преобразований, неподвижные точки и их устойчивость. Построение точечных преобразований в автономных и неавтономных многомерных динамических системах. Бифуркации неподвижных точек. примеры построения функций последования и отображаемых множеств для систем нелинейных дифференциальных уравнений.

Литература

  1. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.
  2. Колмогоров А.М., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.
  3. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа. М.: Наука, 1979.
  4. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.
  5. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969.
  6. Зубов В.И. Колебания в нелинейных и управляемых системах. Л.: Судостроение, 1959.
  7. Нелепин Р.А. Точные аналитические методы в теории нелинейных автоматических систем. Л.: Судостроение, 1967.
  8. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972.
  9. Биркгоф Дж.Д. Динамические системы. М.: Гостехиздат, 1941. (2-е изд.- 1999)
  10. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний. Киев: Изд-во Киев. ун-та, 1995.
  11. Фейгин М.И. Вынужденные колебания систем с разрывными нелинейностями. М.: Наука, 1994.