zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Образование  » Программы курсов  » Дисциплины специализаций » Математические модели упругих сред

Математические модели упругих сред

Специальный курс

Лектор:
Доктор физ.-мат. н., профессор М.А.Греков

I. Основные соотношения механики деформируемой сплошной среды.

1. Напряжения и деформации в сплошной среде и их характеристики. Математическая запись законов движения. Линейный элемент сплошной среды. Относительное удлинение и сдвиг. Тензор деформации. Тензор скорости деформации. Скорость относительного удлинения и скорость сдвига. Соотношения геометрически линейной механики. Уравнения неразрывности. Геометрический и физический смысл основных величин. Объемные и поверхностные силы. Вектор напряжений. Дифференциальные уравнения равновесия. Тензор истинных напряжений Коши.

2. Основные математические модели деформируемых сред. Определяющие соотношения упругих и упруго - пластических деформируемых сред. Математическая запись основных краевых задач деформируемых сред.

II. Двумерная модель линейно упругой среды

1. Плоская деформация и обобщенное плоское напряженное состояние. Основные гипотезы и соотношения плоской задачи теории упругости. Функция напряжений. Неоднородное бигармоническое уравнение. Частные решения неоднородного уравнения и простейшие полиномиальные решения однородного уравнения.

2. Комплексное представление кинематических и силовых характеристик упругой среды в двумерной модели. Формула Гурса. Комплексное усилие и комплексное перемещение. Комплексный оператор упругости. Обобщенная формула для комплексного усилия и производной от комплексного перемещения. Главный вектор и главный момент сил, приложенных к контуру. Формулировка основных краевых задач двумерной теории упругости. Вид комплексных потенциалов в многосвязной области. Случай разрывных перемещений.

3. Некоторые сведения из теории аналитических функций. Сингулярный интеграл, интеграл типа Коши, граничное значение интеграла типа Коши. Некоторые специальные формулы вычисления интегралов типа Коши по замкнутому контуру и бесконечной прямой. Понятие кусочно-голоморфной функции. Задача Римана-Гильберта и ее решение в некоторых частных случаях.

III. Двумерные математические модели линейно упругой среды с канонической границей

1. Двумерная математическая модель упругой среды с малым круговым отверстием. Общая формулировка основных краевых задач для области с круговой границей. Сведение краевого условия к задаче Римана-Гильберта. Аналитические решения ряда частных задач бесконечной плоскости с круговым отверстием и анализ этих решений.

2. Двумерная математическая модель упругой среды с плоской границей. Общая формулировка первых основных краевых задач для упругой полуплоскости. Сведение краевого условия к задаче Римана-Гильберта. Задача Фламана. Внедрение жесткого штампа в полуплоскость.

3. Модели упругой двухкомпонентной среды с прямолинейной и круговой границей раздела. Совместная деформация двух полуплоскостей при заданных скачках усилий и перемещений на границе раздела. Совместная деформация упругой двухкомпонентной среды с круговой границей раздела.

IV. Сингулярные и гиперсингулярные интегральные уравнения двумерной упругости

1. Фундаментальные решения (функции Грина) двумерной модели упругой среды. Сосредоточенная сила и диполь сил в бесконечной плоскости. Одиночная краевая дислокация и диполь краевых дислокаций в бесконечной плоскости. Периодические функции Грина в однородной бесконечной плоскости и в двухкомпонентной плоскости с прямолинейной и круговой границей раздела.

2. Интегральные соотношения и интегральные уравнения двумерной модели упругой среды. Построение интегральных уравнений для неограниченной упругой среды с границей, состоящей и конечного числа разомкнутых линий. Формула Бетти. Формула Сомильяны. Прямой метод построения интегральных уравнений для конечной многосвязной области с границей, состоящей из замкнутых контуров.

3. Метод суперпозиции краевых задач для упругих сред. Сведение сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Комбинированный метод решения уравнения Фредгольма. Одиночный разрез или тонкое жесткое включение в упругой однородной полуплоскости.

Основная литература

  1. Черных К.Ф., Алешков Ю.З., Понятовский В.В., Шамина В.А. Введение в механику сплошных сред. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1984. 280 с.
  2. Греков М.А. Сингулярная плоская задача теории упругости. СПб.: СПбГУ, 2001. 192 с.
  3. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.
  4. Амензаде Ю.А. Теория упругости М.: Высшая школа, 1976. 272 с.
  5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука.
  6. Мусхелищвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 708 с.

Дополнительная литература.

  1. Мусхелищвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1962. 512 с.
  2. Михлин С.Г., Морозов Н.Ф., Паукшто М.В. Интегральные уравнения в теории упругости. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1994. 272 с.
  3. Саврук М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. Киев: Наук.Думка, 1981. 324 с.
  4. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.
  5. Седов Л.И. Механика сплошной среды в 2-х томах: 4-е изд. М.: Наука, 1983. 528 с., 1984. 560 с.
  6. Новожилов В.В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. 370 с.