zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Образование  » Программы курсов  » Дисциплины специализаций » Гамильтоновы системы...

Гамильтоновы системы и их устойчивость

Специальный курс

Лектор: к.ф-м.н. доц.В.С.ЕРМОЛИН

Гамильтоновы системы. Переменные Гамильтона. Преобразования Лежандра. Функция Гамильтона и ее физический смысл. Уравнения Гамильтона. Интеграл Якоби. Уравнения Уиттекера. Канонические преобразования и их свойства. Скобки Пуассона. Теорема Якоби- Пуассона. Скобки Лагранжа. Критерии каноничности преобразований. Ковариантность уравнений Гамильтона при канонических преобразованиях. Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема. Производящая функция. Построение канонических преобразований через производящие функции. Примеры канонических преобразований и производящих функций. Уравнения Гамильтона-Якоби для производящей функции. Теорема Якоби о полном интеграле. Уравнения Гамильтона-Якоби для консервативных и обобщенно-консервативных систем. Характеристическая Функция Гамильтона. Метод разделения переменных для построения полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. Теорема Лиувилля об интегрируемости гамильтоновых систем в квадратурах.

Первый метод Ляпунова исследования устойчивости движений. Понятие характеристичного числа функции. Существование и единственность. Формула для вычисления. Свойства. Характеристичные числа матриц и их свойства. Связь характеристичного числа квадратной матрицы и обратной. Матрицы Ляпунова и их свойства. Матрицы правильные, правильные по столбцам, правильные по строкам и их свойства. Формула для характеристичного числа правильной матрицы.

Характеристичные числа линейных преобразований и их свойства. Преобразование Ляпунова. Обобщенное преобразование Ляпунова. Теоремы о структуре правильных, правильных по строкам и правильных по столбцам матриц.

Характеристичные числа решений линейной системы с ограниченными коэффициентами. Неравенство Важевского. Теоремы Ляпунова о характеристичных числах решений.

Нормальные фундаментальные системы решений и их свойства. Алгоритм Ляпунова построения нормальной фундаментальной системы. Характеристичные числа линейной системы и их инвариантность по отношению к преобразованию Ляпунова и обобщенному преобразованию Ляпунова. Правильные и неправильные системы. Коэффициент неправильности. Инвариантность свойства правильности и неправильности по отношению к преобразованию Ляпунова. Правильность стационарных линейных систем. Приводимые системы. Теорема Н.П.Еругина о приводимости. Правильность приводимых систем. Системы с периодическими коэффициентами и их приводимость. Обобщенная приводимость. Необходимые и достаточные условия обобщенной приводимости систем. Теорема об обобщенной приводимости правильных систем.

Треугольные системы. Свойства фундаментальных матриц. Теорема Ляпунова о правильности треугольной системы. Теорема Перрона о триангуляции линейной системы.

Блочно-треугольные системы. Необходимые и достаточные условия правильности блочно-треугольной системы. Сопряженные системы. Основные свойства движений. Теорема Перрона о правильности сопряженных систем.

Нелинейные системы. Общие теоремы Ляпунова об устойчивости нулевого решения по первому приближению для систем с правильными и неправильными линейными частями. Представление решений в виде рядов и условиях их сходимости. Дальнейшее развитие первого метода Ляпунова.

Линейные гамильтоновы системы. Свойства решений. Гамильтоновы системы с постоянными коэффициентами и их устойчивость. Гамильтоновы системы с периодическими коэффициентами. Теорема Ляпунова-Пуанкаре о характеристическом уравнении. Устойчивость гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами. Нормализация гамильтоновой системы. Параметрический резонанс. Линейные системы с малым параметром. Нахождение областей параметрического резонанса.

Гамильтоновы системы с ограниченными коэффициентами. Связь с сопряженной системой. Теорема Персидского о правильности гамильтоновой системы. Теорема Четаева об устойчивости гамильтоновых систем. Приводимость устойчивых гамильтоновых систем. Понятие устойчивости характеристичных чисел. Теоремы Малкина, Персидского, Пуанкаре-Перрона об устойчивости характеристичных чисел.

Литература

  1. Былов Б.Ф., Ермолин В.С. О сопоставлении свойств решений квазитреугольной и квазидиагональной систем // Дифференц. уравнения. 1978. Т.14, 9.
  2. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.,1967.
  3. Ермолин В.С. К одной теореме Ляпунова о правильности линейных систем // Функциональный анализ и некоторые вопросы качественной теории дифференциальных уравнений. Саранск, 1976.
  4. Ермолин В.С. Необходимые и достаточные условия правильности блочно-треугольных систем // Методы и модели управления и контроля. Рига, 1978.
  5. Ермолин В.С. Первый метод Ляпунова. Приводимость правильных систем // Проблемы механики и управления: Нелинейные динамические системы: Межвуз. сб. научн. тр. Пермь, 1998.
  6. Еругин Н.П. Приводимые системы // Тр. мат. ин-та АН СССР. 1946. ХIII.
  7. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М., 1950.
  8. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М., 1966.
  9. Маркеев А.П. Теоретическая механика. М.: ЧеРо, 1999. 572 с.