Алгебраические методы в теории марковских и полумарковских процессов
Специальный курс
1. Теория неотрицательных матриц
Понятия неотрицательной и положительной матриц. Основные свойства. Разложимые и неразложимые матрицы. Интерпретация в терминах теории графов. Критерии неразложимости. Спектральные свойства неотрицательных матриц. Теорема Фробениуса. Теорема Перрона. Основные свойства разложимых неотрицательных матриц. Примитивные и импиритивные матрицы. Стохастические матрицы. Матрицы Леонтьева-Минковского.
2. Марковские цепи
Марковские процессы с дискретным временем. Матрица переходных вероятностей. Однородные и неоднородные цепи. Представление марковской цепи в виде графа состояний. Эргодическое свойство маркоской цепи. Правильные и регулярные цепи Маркова. Финальные вероятности.
3. Марковский процесс с непрерывным временем
Описание посредством простейшего потока событий. Уравнение Колмогорова-Чэпмена. Уравнения Колмогорова для переходных и абсолютных вероятностей. Анализ эргодичности. Теорема Маркова.
4. Полумарковские случайные процессы
Описание полумарковского процесса. Вложенная марковская цепь. Построение уравнений динамики. Применение методов операционного исчисления для их интегрирования. Построение решения в виде ряда по параметру. Анализ эргодического свойства и финальные вероятности. Примеры.
Литература
- Кемени Дж., Снелл Дж. Конечные цепи Маркова. М.: Наука, 1970.
- Романовский В.И. Дискретные цепи Маркова. М.; Л.: Гостехтеоретиздат, 1949.
- Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М.: Сов. радио, 1977.
- Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. М.: Наука, 1991.
- Королюк В.С., Турбин А.Ф. Полумарковские процессы и их приложения. Киев: Наукова думка, 1976.
- Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.
- Ланкастер П.Л. Теория матриц. М.: Наука, 1982.
- Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.
