zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Образование  » Программы курсов » Единая система вычислительных алгоритмов

Единая система вычислительных алгоритмов

Лектор Зубов И.В.

В курсе рассматриваются вопросы построения численных методов решения различных вычислительных задач. Предлагаемая методика основана на применении идей теории устойчивости и теории автоматического управления. А.М. Ляпунов ввел в арсенал математических методов функции, заданные на решениях дифференциальных систем, по поведению которых на этих решениях можно судить о свойствах самих этих решений. Эти функции могут иметь различную природу и быть скалярными, векторными, тензорными и т.д. Причем требование знакоопределенности для этих функций не является обязательным.

Как отмечают ведущие мировые специалисты в области численного анализа, вычислительные задачи большой размерности требуют итерационных алгоритмов, которые являются более устойчивыми, чем традиционные алгоритмы, использующие фиксированное число шагов, и к тому же более быстрыми.

Начиная с 1970-х годов, итерационные алгоритмы решения задач линейной алгебры занимают центральное место в научных исследованиях. Возросшие возможности ЭВМ позволили решать объемные вычислительные задачи, но потребности практики по-прежнему опережают возможности ЭВМ и заставляют математиков разрабатывать новые, более эффективные алгоритмы.

Аппарат функций Ляпунова дает практически неиссякаемый источник новых итерационных алгоритмов решения различных вычислительных задач и объясняет существующие алгоритмы. При этом из этого подхода получаются как известные вычислительные схемы, например метод Ньютона, так и совершенно новые итерационные алгоритмы.

В курсе на основе обобщения теории А.М. Ляпунова даются способы установления существования решения вычислительной задачи и способы построения алгоритмов его нахождения.

Содержание

Динамические системы в метрических пространствах. Потоки и отображения. Предельные точки и множества. Устойчивость, асимптотическая устойчивость. Теоремы Ляпунова.

Сведение вычислительной задачи к построению специальной системы дифференциальных уравнений.

Методы численного интегрирования стационарных систем ДУ. Одношаговые, многошаговые, явные, неявные, смешанные методы.

Понятие численного алгоритма. Сходимость устойчивость и точность метода.

Построение численных методов решения задач линейной алгебры. Обращение матриц и решение систем линейных уравнений. Нахождение псевдообратных матриц. Корень из матрицы. Полярное разложение матрицы.

Решение нелинейных уравнений и задач оптимизации.