zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Образование  » Программы курсов  » Курсы по выбору » Общая задача об устойчивости движения

Общая задача об устойчивости движения

Лектор: доцент, к.ф.-м.н. Степенко Н. А.

1. Основные понятия математической теории устойчивости.

Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений. Свойство интегральной непрерывности решений и продолжаемости решений. Устойчивость относительно начальных данных и относительно постоянно действующих возмущений. Орбитальная устойчивость (по Пуанкаре), устойчивость по Жуковскому, практическая устойчивость. Определения устойчивости и асимптотической устойчивости решения по Ляпунову. Равномерная устойчивость. Асимптотическая устойчивость в целом. Область асимптотической устойчивости. Система в отклонениях, устойчивость (неустойчивость) нулевого решения системы.

2. Устойчивость линейных систем.

Устойчивые (вполне устойчивые) и неустойчивые линейные системы дифференциальных уравнений. Связь устойчивости неоднородной и соответствующей однородной системы. Зависимость устойчивости (неустойчивости) всех решений линейной системы от устойчивости (неустойчивости) отдельно взятого решения. Связь устойчивости и асимптотической устойчивости линейной однородной системы с ограниченностью всех ее решений. Критерии устойчивости и асимптотической устойчивости линейных однородных систем с постоянной матрицей в терминах характеристических чисел матрицы системы. Стандартные полиномы и полиномы Гурвица. Присоединенные полиномы и их свойства. Матрица Гурвица. Критерий Рауса-Гурвица. Годограф Михайлова и критерий Михайлова. Понятие о робастной устойчивости, интервальные полиномы. Теорема Харитонова об устойчивости интервального полинома. Лемма Гронуолла-Беллмана и ее обобщения. Устойчивость линейных систем с почти постоянной матрицей. Устойчивость линейной системы с полиномиальными коэффициентами.

3. Первый метод Ляпунова.

Характеристические показатели функций и их свойства. Характеристические показатели матриц и их свойства. Спектр линейной однородной системы. Достаточное условие асимптотической устойчивости линейной дифференциальной системы в терминах характеристических показателей. Неравенство Важевского. Нормальные фундаментальные системы решений. Теорема Ляпунова о построении нормальной фундаментальной системы решений. Правильные системы. Неравенство Ляпунова. Теорема Перрона о необходимых и достаточных условиях правильности линейной однородной системы. Преобразование Ляпунова. Правильность треугольной линейной системы. Теорема Ляпунова о правильности линейной треугольной системы. Ряды Ляпунова в представлении решений. Формальное построение рядов. Сходимость рядов Ляпунова. Оценка матрицы Коши для правильной системы. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

Основная литература

  1. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. - М: ИЛ, 1954.
  2. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. - М.: Наука, 1967.
  3. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. - М.: Изд-во АН СССР, 1948.
  4. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. - М.: Наука., 1966.
  5. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. - М.: Наука, 1971.
  6. Филатов А.Н. Теория устойчивости. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 220 с. 2003.
  7. Харитонов В.Л. Асимптотическая устойчивость семейства систем линейных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения, 1978, т.14, ©11, с.2086-2088.

Дополнительная литература

  1. Александров А.Ю., Александрова Е.Б., Екимов А.В., Смирнов Н.В. Сборник задач и упражнений по устойчивости. - СПб, 2003.
  2. Блистанова Л.Д., Зубов И.В., Зубов Н.В., Северцев Н.А. Конструктивные методы теории устойчивости и их применение к задачам численного анализа. СПб, 2002.
  3. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. - М.: Наука, 1979.
  4. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Мир, 1964.

Примерный перечень вопросов к экзамену по всему курсу