Управление механическими и живыми системами
Курс по выбору
Лектор: к.ф.-м.н., доцент Потоцкая И.Ю.Глава 1. Введение в принцип максимума.
- 1. Постановка задач оптимального управления.
- Уравнения эволюции системы. Минимизируемый функционал (критерий качества). Задачи Лагранжа, Майера, Больца. Ограничения на траекторию и управление. Совместные ограничения.
- 2. Оптимальное управление космическими аппаратами
- Вертикальный подъем ракеты на максимальную высоту (задача Годдарда).Задача о мягкой посадке на Луну. Задача об оптимальной стабилизации спутника.
- 3. Классическое вариационное исчисление в задачах оптимального управления.
- Задачи со свободным правым концом и фиксированным временем. Понятие вариации. Необходимые условия оптимальности. Метод множителей Лагранжа. Примеры определения лагранжевых множителей. Задача Чаплыгина. Максимизация скорости ракеты в конце участка выведения её на прямолинейную траекторию.
- 4. Принцип максимума Понтрягина
- Формулировка принципа максимума для задач со свободным правым концом и заданным временем. Задача Майера. Задача Больца. Принцип максимума для задач с произвольным временем окончания управления. Необходимые условия оптимальности для линейных по скалярному управлению систем. Случай многомерного управления. Задачи управления с изопериметрическими ограничениями. Достаточность принципа максимума. Связь принципа максимума и классического вариационного исчисления.
Глава 2. Оптимальное управление механическими системами.
- 1. Задача о плоском переходе космического аппарата с одной круговой орбиты на другую.
- 2. Определение лагранжевых множителей на участке компланарного баллистического полета в центральном гравитационном поле.
- 3. Оптимальное гашение колебаний механической модели с одной степенью свободы.
- Задача демпфирования колебаний спутника относительно центра масс. Постановка линейной задачи демпфирования колебаний. Исследование функции Гамильтона. Фазовый портрет энергетически оптимальных траекторий. Фазовый портрет траекторий, оптимальных по быстродействию.
- 4. Оптимальное управление с ограничением.
- Оптимальное гашение углового движения. Управление колебаниями маятника с подвижной точкой подвеса.
Глава 3. Математическая теория управляемых экономических систем.
- 1. Критерии качества и эффективности управления экономическими системами.
- Линейное программирование. Нелинейное программирование.
- 2. Оптимизация экономической статики.
- Оптимизация функции полезности. Оптимизация производственных функций. Производственная функция Кобба-Дугласа.
- 3. Оптимизация экономической динамики.
- Простейшие модели экономической динамики. Паутинообразная модель динамики. Модель Калдора. Модель Самуэльсона - Хикса. Динамика несвязанных секторов экономики. Динамика связанных секторов экономики.
- 4. Принцип максимума в задачах экономической динамики.
- Задача увеличения капитала до заданного значения. Задача максимизации потребления. Задача минимизации суммарных трудозатрат.
Глава 4. Управление живыми системами.
- 1. Модели управления и оптимизация в паразитарных системах.
- Механизмы заражения. Количественное описание механизмов заражения. Количественное описание регулятора вирулентности. Модели процессов в паразитарных системах. Модель Кермака-Мак Кендрика. Модель эпидемии с учетом изменчивости возбудителя. Модель Ринальда. Модели управления в паразитарных системах. Способы управления эпидемическим процессом. Модель с вакцинацией. Модель с карантином. Модель с изоляцией больных. Модель с химиопрофилактикой. Модель с комбинированной вакцинацией. Особенность переноса методов теории управления на паразитарные системы. Оптимизация массовой вакцинопрофилактики на основе принципа максимума.
- 2. Управление экологическими системами.
- Математические модели в биологии. Уравнения, описывающие эволюцию отдельной популяции. Модель Мальтуса. Модель Ферхюльста. Модель Хатчинсона. Сообщества двух видов и более. Модель Лотки-Вольтерра. Постановка задач управления экологическими системами. Управление системой "хищник-жертва". Оптимальный вылов популяции. Управление численностью народонаселения. Управление по быстродействию системой "хищник-жертва".
- 3. Модели культивирования микроорганизмов.
- Непрерывная культура микроорганизмов. Модель Моно. Оптимальное управление процессами культивирования микроорганизмов. Максимизация выхода биомассы в хемостате. Минимизация времени выхода хемостата на стационарный режим.
Рекомендуемая литература и источники
- Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М. 2003.
- Колесин И.Д., Житкова Е.М. Математические модели эпидемий. СПб. 2004.
- Новоселов В.С., Королёв В.С. Аналитическая динамика управляемых систем. СПб. 2002.
- Охорзин В.А. Оптимизация экономических систем. М.2004.
- Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.1983.
- Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Биофизическая динамика продукционных процессов. М.-Ижевск 2004.