Управление механическими и живыми системами

Курс по выбору

Лектор: к.ф.-м.н., доцент Потоцкая И.Ю.

Глава 1. Введение в принцип максимума.

1. Постановка задач оптимального управления.: Уравнения эволюции системы. Минимизируемый функционал (критерий качества). Задачи Лагранжа, Майера, Больца. Ограничения на траекторию и управление. Совместные ограничения.
2. Оптимальное управление космическими аппаратами: Вертикальный подъем ракеты на максимальную высоту (задача Годдарда).Задача о мягкой посадке на Луну. Задача об оптимальной стабилизации спутника.
3. Классическое вариационное исчисление в задачах оптимального управления.: Задачи со свободным правым концом и фиксированным временем. Понятие вариации. Необходимые условия оптимальности. Метод множителей Лагранжа. Примеры определения лагранжевых множителей. Задача Чаплыгина. Максимизация скорости ракеты в конце участка выведения её на прямолинейную траекторию.
4. Принцип максимума Понтрягина: Формулировка принципа максимума для задач со свободным правым концом и заданным временем. Задача Майера. Задача Больца. Принцип максимума для задач с произвольным временем окончания управления. Необходимые условия оптимальности для линейных по скалярному управлению систем. Случай многомерного управления. Задачи управления с изопериметрическими ограничениями. Достаточность принципа максимума. Связь принципа максимума и классического вариационного исчисления.

Глава 2. Оптимальное управление механическими системами.

1. Задача о плоском переходе космического аппарата с одной круговой орбиты на другую.
2. Определение лагранжевых множителей на участке компланарного баллистического полета в центральном гравитационном поле.
3. Оптимальное гашение колебаний механической модели с одной степенью свободы.: Задача демпфирования колебаний спутника относительно центра масс. Постановка линейной задачи демпфирования колебаний. Исследование функции Гамильтона. Фазовый портрет энергетически оптимальных траекторий. Фазовый портрет траекторий, оптимальных по быстродействию.
4. Оптимальное управление с ограничением.: Оптимальное гашение углового движения. Управление колебаниями маятника с подвижной точкой подвеса.

Глава 3. Математическая теория управляемых экономических систем.

1. Критерии качества и эффективности управления экономическими системами.: Линейное программирование. Нелинейное программирование.
2. Оптимизация экономической статики.: Оптимизация функции полезности. Оптимизация производственных функций. Производственная функция Кобба-Дугласа.
3. Оптимизация экономической динамики.: Простейшие модели экономической динамики. Паутинообразная модель динамики. Модель Калдора. Модель Самуэльсона - Хикса. Динамика несвязанных секторов экономики. Динамика связанных секторов экономики.
4. Принцип максимума в задачах экономической динамики.: Задача увеличения капитала до заданного значения. Задача максимизации потребления. Задача минимизации суммарных трудозатрат.

Глава 4. Управление живыми системами.

1. Модели управления и оптимизация в паразитарных системах.: Механизмы заражения. Количественное описание механизмов заражения. Количественное описание регулятора вирулентности. Модели процессов в паразитарных системах. Модель Кермака-Мак Кендрика. Модель эпидемии с учетом изменчивости возбудителя. Модель Ринальда. Модели управления в паразитарных системах. Способы управления эпидемическим процессом. Модель с вакцинацией. Модель с карантином. Модель с изоляцией больных. Модель с химиопрофилактикой. Модель с комбинированной вакцинацией. Особенность переноса методов теории управления на паразитарные системы. Оптимизация массовой вакцинопрофилактики на основе принципа максимума.
2. Управление экологическими системами.: Математические модели в биологии. Уравнения, описывающие эволюцию отдельной популяции. Модель Мальтуса. Модель Ферхюльста. Модель Хатчинсона. Сообщества двух видов и более. Модель Лотки-Вольтерра. Постановка задач управления экологическими системами. Управление системой "хищник-жертва". Оптимальный вылов популяции. Управление численностью народонаселения. Управление по быстродействию системой "хищник-жертва".
3. Модели культивирования микроорганизмов.: Непрерывная культура микроорганизмов. Модель Моно. Оптимальное управление процессами культивирования микроорганизмов. Максимизация выхода биомассы в хемостате. Минимизация времени выхода хемостата на стационарный режим.

Управление механическими и живыми системами

Глава 1. Введение в принцип максимума.

Глава 2. Оптимальное управление механическими системами.

Глава 3. Математическая теория управляемых экономических систем.

Глава 4. Управление живыми системами.

Рекомендуемая литература и источники