zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Образование  » Программы курсов » Управление механическими и живыми системами

Управление механическими и живыми системами

Курс по выбору

Лектор: к.ф.-м.н., доцент Потоцкая И.Ю.

Глава 1. Введение в принцип максимума.

1. Постановка задач оптимального управления.
Уравнения эволюции системы. Минимизируемый функционал (критерий качества). Задачи Лагранжа, Майера, Больца. Ограничения на траекторию и управление. Совместные ограничения.
2. Оптимальное управление космическими аппаратами
Вертикальный подъем ракеты на максимальную высоту (задача Годдарда).Задача о мягкой посадке на Луну. Задача об оптимальной стабилизации спутника.
3. Классическое вариационное исчисление в задачах оптимального управления.
Задачи со свободным правым концом и фиксированным временем. Понятие вариации. Необходимые условия оптимальности. Метод множителей Лагранжа. Примеры определения лагранжевых множителей. Задача Чаплыгина. Максимизация скорости ракеты в конце участка выведения её на прямолинейную траекторию.
4. Принцип максимума Понтрягина
Формулировка принципа максимума для задач со свободным правым концом и заданным временем. Задача Майера. Задача Больца. Принцип максимума для задач с произвольным временем окончания управления. Необходимые условия оптимальности для линейных по скалярному управлению систем. Случай многомерного управления. Задачи управления с изопериметрическими ограничениями. Достаточность принципа максимума. Связь принципа максимума и классического вариационного исчисления.

Глава 2. Оптимальное управление механическими системами.

1. Задача о плоском переходе космического аппарата с одной круговой орбиты на другую.
2. Определение лагранжевых множителей на участке компланарного баллистического полета в центральном гравитационном поле.
3. Оптимальное гашение колебаний механической модели с одной степенью свободы.
Задача демпфирования колебаний спутника относительно центра масс. Постановка линейной задачи демпфирования колебаний. Исследование функции Гамильтона. Фазовый портрет энергетически оптимальных траекторий. Фазовый портрет траекторий, оптимальных по быстродействию.
4. Оптимальное управление с ограничением.
Оптимальное гашение углового движения. Управление колебаниями маятника с подвижной точкой подвеса.

Глава 3. Математическая теория управляемых экономических систем.

1. Критерии качества и эффективности управления экономическими системами.
Линейное программирование. Нелинейное программирование.
2. Оптимизация экономической статики.
Оптимизация функции полезности. Оптимизация производственных функций. Производственная функция Кобба-Дугласа.
3. Оптимизация экономической динамики.
Простейшие модели экономической динамики. Паутинообразная модель динамики. Модель Калдора. Модель Самуэльсона - Хикса. Динамика несвязанных секторов экономики. Динамика связанных секторов экономики.
4. Принцип максимума в задачах экономической динамики.
Задача увеличения капитала до заданного значения. Задача максимизации потребления. Задача минимизации суммарных трудозатрат.

Глава 4. Управление живыми системами.

1. Модели управления и оптимизация в паразитарных системах.
Механизмы заражения. Количественное описание механизмов заражения. Количественное описание регулятора вирулентности. Модели процессов в паразитарных системах. Модель Кермака-Мак Кендрика. Модель эпидемии с учетом изменчивости возбудителя. Модель Ринальда. Модели управления в паразитарных системах. Способы управления эпидемическим процессом. Модель с вакцинацией. Модель с карантином. Модель с изоляцией больных. Модель с химиопрофилактикой. Модель с комбинированной вакцинацией. Особенность переноса методов теории управления на паразитарные системы. Оптимизация массовой вакцинопрофилактики на основе принципа максимума.
2. Управление экологическими системами.
Математические модели в биологии. Уравнения, описывающие эволюцию отдельной популяции. Модель Мальтуса. Модель Ферхюльста. Модель Хатчинсона. Сообщества двух видов и более. Модель Лотки-Вольтерра. Постановка задач управления экологическими системами. Управление системой "хищник-жертва". Оптимальный вылов популяции. Управление численностью народонаселения. Управление по быстродействию системой "хищник-жертва".
3. Модели культивирования микроорганизмов.
Непрерывная культура микроорганизмов. Модель Моно. Оптимальное управление процессами культивирования микроорганизмов. Максимизация выхода биомассы в хемостате. Минимизация времени выхода хемостата на стационарный режим.

Рекомендуемая литература и источники

  1. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М. 2003.
  2. Колесин И.Д., Житкова Е.М. Математические модели эпидемий. СПб. 2004.
  3. Новоселов В.С., Королёв В.С. Аналитическая динамика управляемых систем. СПб. 2002.
  4. Охорзин В.А. Оптимизация экономических систем. М.2004.
  5. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.1983.
  6. Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Биофизическая динамика продукционных процессов. М.-Ижевск 2004.