Нелинейные модели механики деформируемого тела
Курс по выбору
Основная литература.
- Черных К.Ф., Алешков Ю.З., Понятовский В.В., Шамина В.А. Введение в механику сплошных сред. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1984. 280 с.
- Новожилов В.В. Теория упругости. - Л.: Судпромгиз, 1958. 370 с.
- Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика.- М.: Физматгиз, 1963. Ч.1.- 583 с.; Ч.2.- 727 с.
1. Введение.
Понятие о иатематических моделях механики. Сплошная среда как модель деформируемого тела. Основные гипотезы ( строение реальных тел и гипотеза сплошности; механика Ньютона как основа классической механики сплошных сред ). Предмет и задачи механики деформируемого тела, математические методы и ее практическое значение.
2. Элементы тензорного исчисления.
Криволинейные координаты. Понятие о тензоре. Сложение, умножение и дифференцирование тензоров. Простейшие свойства тензоров. Основные дифференциальные и интегральные операции над тензорами ( символический набла-вектор, градиент, производная по направлению, дивергенция, ротор; формула Гаусса-Остроградского ). Главные значения и главные направления симметричного тензора второго ранга.
Дополнительная литература
- Мак-Коннел А.Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. - М.: Физматгиз, 1963. 411 с.
- Шамина В.А. Элементы тензорного исчисления: Учеб. пособие. - СПб.: Изд-во СПбГУ, 2000. 29 с.
3. Общие соотношения механики сплошных сред.
Кинематика сплошной среды.
Лагранжев и эйлеров способы описания движения среды, ее закон движения,
скорость и ускорение. Теория деформации сплошной среды. Меры деформации.
Тензор деформации и тензор скорости деформации. Напряженное состояние
сплошной среды. Вектор и тензор напряжений. Формула Коши. Нормальное и
касательное напряжения. Закон сохранения массы. Уравнение неразрывности.
Уравнение движения среды. Теорема о кинетической энергии. Начало возможных
перемещений в механике сплошных сред. Понятие об определяющих уравнениях.
Идеальная жидкость, линейно-вязкая жидкость ( закон Навье-Стокса ),
линейно-упругие твердые тела ( обобщенный закон Гука ).
Дополнительная литература
- Седов Л.И. Механика сплошной среды.- М.: Наука, 1976. Т.1.-536 с.; Т.2.- 576 с.
- Шамина В.А. Лекции по механике сплошных сред: Учеб. пособие.- СПб.: Изд-во СПбГУ, 2000. 44 с.
4. Некоторые задачи механики жидкости и газа.
Гидростатика. Равновесие тяжелой жидкости. Баротропное равновесие газа в поле силы тяжести. Действие жидкости на погруженное в нее тело. Закон Архимеда. Основные уравнения движения идеальной жидкости. Уравнения Эйлера и Громеки-Лемба. Интегралы Бернулли, Коши, Бернулли-Эйлера и некоторые их приложения. Плоское безвихревое движение идеальной несжимаемой жидкости. Основные кинематические соотношения. Комплексный потенциал и комплексная скорость. Плоская задача о движении тела в идеальной жидкости. Обтекание неподвижного кругового цилиндра потоком, поступательным на бесконечности и имеющим на бесконечности заданную скорость. Силы взаимодействия между цилиндром и жидкостью. Распространение малых возмущений в идеальном газе. Основные соотношения динамики вязкой жидкости. Уравнение Навье-Стокса. Установившееся течение несжимаемой вязкой жидкости в цилиндрических трубах.
Дополнительная литература
- Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа.- М.: Наука, 1973. 847 c.
5. Некоторые задачи теории упругости.
Постановка задач линейной теории упругости. Уравнение Ламе. Необходимое условие
разрешимости задач статики.
Задачи Сен-Венана о деформации стержня. Принцип Сен-Венана. Линейная теория
балок (гипотезы и основные соотношения). Продольные и поперечные колебания
тонких стержней. Изгиб и растяжение тонких пластин. Гипотезы Кирхгофа.
Уравнение для определения прогиба. Задачи об изгибе прямоугольных и круглых
пластин. Задачи о концентрации напряжений вблизи отверстий в тонких листах.
Концентрация напряжений вблизи круглого отверстия. Задача о плоском изгибе
стержня при произвольных перемещениях. Эластика Эйлера. Понятие о критических
нагрузках. Вариационные и экстремальные принципы (начало возможных
перемещений. принцип минимума полной энергии, принцип минимума дополнительной
энергии - теорема Кастильяно). Постановка вариационных задач в некоторых
частных случаях (изгиб тонких пластин и стержней). Метод Рэлея-Ритца.
Метод Бубнова-Галеркина. Использование вариационных методов в задачах об
изгибе и выпучивании (определение критических нагрузок) прямоугольных
пластин и тонких стержней.
Дополнительная литература
- Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука, 1979. 744 с.
- Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука, 1966. 707 с.
- Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. - М.: Наука, 1970. 512 с.
- Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. - М.: Наука, 1967. 984 с.