Методы Монте-Карло в прикладных задачах
Курс по выбору
Лектор: к.ф-м. н., доцент Владимирова Л. В.
Введение
Моделирование случайных величин
- Моделирование дискретной случайной величины. Теорема о распределении.
- Теорема о моделирование непрерывной случайной величины. Формула моделирования непрерывной случайной величины по заданной плотности. Пример.
- Моделирование равномерно распределённой случайной величины в заданном промежутке. Моделирование случайного равномерно распределённого вектора в заданном параллелепипеде. Алгоритм моделирования случайного равномерно распределённого вектора в заданной области.
- Теорема о связи плотностей в различных системах координат. Переход из декартовой в полярную систему координат и соответствующее преобразование плотности. Формулы моделирования равномерно распределённой случайной точки в круге, в шаре, на поверхности сферы (изотропное распределение в пространстве).
- Приближённое моделирование случайной нормально распределённой величины. Основание для получения такой формулы. Понятие центрированной и нормированной случайных величин.
- Моделирование случайного двумерного нормально распределённого вектора.
- Моделирование случайного n-мерного нормально распределённого вектора и алгоритм получения.
- Метод Неймана для моделирования случайных величин с заданной плотностью. Обобщённый метод Неймана для моделирования по плотности, являющейся произведением двух функций. Соответствующие теоремы и алгоритмы моделирования.
Задача I
Вычисление интегралов методом Монте-Карло
- Метод Монте-Карло для приближенного вычисления интеграла с использованием реализаций случайного равномерно распределенного вектора в области интегрирования.
- Метод Монте-Карло для приближенного вычисления интеграла с использованием реализаций неравномерно распределённого случайного вектора в области интегрирования.
- Формула для определения числа узлов по заданной погрешности.
- Методы уменьшения дисперсии: метод существенной выборки, метод выделения главной части.
Задача II
Моделирование прохождения - излучения через вещество
- Функция распределения длины свободного пробега. Оптическая длина интервала.
- Моделирование длины свободного пробега в однородной среде.
- Моделирование длины свободного пробега в неоднородной среде.
- Моделирование типа взаимодействия.
- Получение изменённой энергии и угла рассеяния. Формула моделирования азимутального угла.
- Формулы для вычисления вектора направления.
- Вычисление новых координат.
- Применение алгоритма для моделирования длины свободного пробега в неоднородной плите.
Задача III
Решение интегральных уравнений методом Монте-Карло. Блуждание по сетке
- Краевая задача Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона. Переход к системе линейных алгебраических уравнений.
- Ряд Неймана. Условие сходимости ряда к решению системы уравнений.
- Теорема о полной группе событий для цепей Маркова.
- Вид случайной величины, определённой на цепи Маркова.
- Условия согласования между системой алгебраических уравнений и цепью Маркова.
- Несмещенность введённой случайной величины, определённой на цепи Маркова.
- Общее правило моделирования цепи Маркова. Алгоритм моделирования цепи Маркова для сетки.
- Пример точного решения краевой задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона методом разделения переменных и приближённое решение этой задачи методом Монте-Карло.
Задача IV
Решение интегральных уравнений методом Монте-Карло
Метод "блуждания по сферам"
- Общая схема решения интегральных уравнений методом Монте-Карло. Приближённое решение и ряд Неймана. Сходимость ряда Неймана к точному решению интегрального уравнения.
- Случайная величина, построенная на цепи Маркова, и её несмещённость.
- Построение и обоснование алгоритма "блуждания по сферам" для решения краевой задачи Дирихле для уравнения Лапласа.
- Условия согласования между вероятностями, определяющими цепь Маркова, ядром и свободным членом интегрального уравнения.
- Алгоритм "блуждания по сферам" для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа.
- Интегральное уравнение для решения краевой задачи Дирихле для уравнения Пуассона методом "блуждания по сферам".
- Алгоритм "блуждания по сферам" для решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
- Точное решение краевой задачи Дирихле для уравнения Лапласа и Пуассона методом разделения переменных и получение приближённого решения этих задач методом "блуждания по сферам".
Задача V
Моделирование систем массового обслуживания
- Характеристика систем массового обслуживания. Стационарность, ординарность, отсутствие последствия.
- Стационарный пуассоновский поток.
- Функция надёжности.
- Алгоритм расчёта систем с отказами.
Литература
Основная литература
- Ермаков С.М. Метод Монте-Карло в вычислительной математике. Вводный курс. СПб, 2009.
- Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М., Наука, 1975.
- Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М., Наука, 1973.
- Сабельфельд КК. Методы Монте-Карло в краевых задачах. Новосибирск, Наука, 1989.
- Елепов Б.С., Кронберг А.А., Михайлов Г.А., Сабельфельд К.К. Решение краевых задач методом Монте-Карло. Новосибирск, Наука, 1989.
- Войтишек А.В. Основы метода Монте-Карло в алгоритмах и задачах: 6 ч., Новосибирск, изд-во НГУ, 1997-2004.
- Бусленко Н.П., Шрейдер Ю.А. Метод статистических испытаний. Физматгиз, 1961.
- Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М., Наука, 1971.
- Владимирова Л.В., Курилова К.В. Моделирование электромагнитных полей методом Монте-Карло. Часть I. Метод "блуждания по сферам". Учебное пособие. Санкт-Петербург 2007
- Владимирова Л.В. Моделирование электромагнитных полей методом Монте-Карло. Часть II. Метод "блуждания по сетке". Учебное пособие. Санкт-Петербург, 2007
- Лейпунский О.И. и др. Распространение гамма квантов в веществе, Физматгиз, М., 1960.
- Кофман А., Крюон Р. Массовое обслуживание, теория и приложения. Мир, 1965.
- Климов Г.П. Стохастические системы массового обслуживания. М., Наука, 1966.
- Овсянников Д.А. Моделирование и оптимизация динамики пучков заряженных частиц. СПб., 1990
Литература дополнительная
Введение- Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования. М., Наука, 1976.
- Крылов В.И. Приближённое вычисление интегралов. М., Физматгиз, 1959.
- Метод Монте- Карло в проблеме переноса излучений. Сб. статей под ред. Чл.-корр. АНСССР Г.И.Марчука. Атомиздат, М., 1967.
- Владимирова Л.В. , Паниотов Р.А. Прохождение ? -квантов через вещество, Abs. of the Fourteen International Workshop: Beam Dynamics & Optimization (July 3-6, 2007, St.Petersburg, Russia ), St.-Petersburg, 2007.
- Ишии, Секинэ, Оно (Ishii T., Secine T., Jnj K.) A Monte Carlo calculation of gamma-ray scattering on the jeidac computer, Codes for reactor Comp., Vienna I, Austria 1961, 53-66.
- Кипилый В.Г. и др. Исследования параметров нейтронных фильтров, 1998.
- Куропатенко Э.С., Огибин В.Н., Об одной схеме моделирования траектории частиц в системах сложной геометрии. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1968, 8, 1, с.211-216.
- Матвеев А.В. Козаченко В.И. Котов В.П. Практикум по дозиметрии и радиационной безопасности. Спб, 2006.
- Тихомиров Л.Н., Азаров В.А., Силаев М.Е. Экспериментальное и расчетное определение характеристик нейтронного поля вблизи бетонного контейнера, содержащего ампульные нейтронные источники Вестник НЯЦ РК. Атомная энергетика и безопасность АЭС. 2003. № 1. 8-,/li>
- Михлин С. Г. Курс математической физики, Наука, 1968
- Под редакцией Михлина С.Г. Линейные уравнения математической физики. Справочник.
- Овсянников Д.А., Егоров Н.В. Математическое моделирование систем формирования электронных и ионных пучков. СПбГУ, 1998.
- Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М., Мир, 1964
- Михайлов Г.А. Некоторые вопросы теории методов Монте-Карло. Новосибирск, 1992.
- Ермаков С.М., Некруткин В.В., Сипин А.С. Случайные процессы для решения классических уравнений математической физики. М., Наука, 1984
- Елепов Б.С., Михайлов Г.А. Алгоритм "блуждания по сферам" для уравнения . Докл. АН СССР, 1973, т.212, №1, с. 15-18.
- Ильин В.П., Петров Е.Н. Некоторые вопросы эффективности численного моделирования электростатических полей. Сб. трудов III Всесоюзного семинара. Численные методы расчёта электронно-оптических систем. Новосибирск, 1971.
- Михайлов Г.А. Алгоритмы "блуждания по сферам" для решения уравнения Гельмгольца. Новосибирск, Наука, 1974.
- Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., Наука, 1966.
- Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. Физматгиз, М., 1960.
- Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М., Мир, 1964.
- Strutt M.D. Uber die Berechnung des electrostatichen Feldes modernen Electronenrohren, 67,№3, 1949, 36-37, Schweizeriscne Bauzeitung.
- Svistunov Yu.A., Kozynchenko S.A. Solving of the field problem in case of charged particle dynamics optimization. Proceedings of RuPAC XIX, Dubna 2004.
- Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. М., Наука, 1968.
- Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М., Кнорус, 2009.
- Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Высшая школа, 1998.