zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Образование  » Программы курсов » Методы Монте-Карло в прикладных задачах

Методы Монте-Карло в прикладных задачах

Курс по выбору

Лектор: к.ф-м. н., доцент Владимирова Л. В.

Введение
Моделирование случайных величин

  1. Моделирование дискретной случайной величины. Теорема о распределении.
  2. Теорема о моделирование непрерывной случайной величины. Формула моделирования непрерывной случайной величины по заданной плотности. Пример.
  3. Моделирование равномерно распределённой случайной величины в заданном промежутке. Моделирование случайного равномерно распределённого вектора в заданном параллелепипеде. Алгоритм моделирования случайного равномерно распределённого вектора в заданной области.
  4. Теорема о связи плотностей в различных системах координат. Переход из декартовой в полярную систему координат и соответствующее преобразование плотности. Формулы моделирования равномерно распределённой случайной точки в круге, в шаре, на поверхности сферы (изотропное распределение в пространстве).
  5. Приближённое моделирование случайной нормально распределённой величины. Основание для получения такой формулы. Понятие центрированной и нормированной случайных величин.
  6. Моделирование случайного двумерного нормально распределённого вектора.
  7. Моделирование случайного n-мерного нормально распределённого вектора и алгоритм получения.
  8. Метод Неймана для моделирования случайных величин с заданной плотностью. Обобщённый метод Неймана для моделирования по плотности, являющейся произведением двух функций. Соответствующие теоремы и алгоритмы моделирования.

Задача I
Вычисление интегралов методом Монте-Карло

  1. Метод Монте-Карло для приближенного вычисления интеграла с использованием реализаций случайного равномерно распределенного вектора в области интегрирования.
  2. Метод Монте-Карло для приближенного вычисления интеграла с использованием реализаций неравномерно распределённого случайного вектора в области интегрирования.
  3. Формула для определения числа узлов по заданной погрешности.
  4. Методы уменьшения дисперсии: метод существенной выборки, метод выделения главной части.

Задача II
Моделирование прохождения - излучения через вещество

  1. Функция распределения длины свободного пробега. Оптическая длина интервала.
  2. Моделирование длины свободного пробега в однородной среде.
  3. Моделирование длины свободного пробега в неоднородной среде.
  4. Моделирование типа взаимодействия.
  5. Получение изменённой энергии и угла рассеяния. Формула моделирования азимутального угла.
  6. Формулы для вычисления вектора направления.
  7. Вычисление новых координат.
  8. Применение алгоритма для моделирования длины свободного пробега в неоднородной плите.

Задача III
Решение интегральных уравнений методом Монте-Карло. Блуждание по сетке

  1. Краевая задача Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона. Переход к системе линейных алгебраических уравнений.
  2. Ряд Неймана. Условие сходимости ряда к решению системы уравнений.
  3. Теорема о полной группе событий для цепей Маркова.
  4. Вид случайной величины, определённой на цепи Маркова.
  5. Условия согласования между системой алгебраических уравнений и цепью Маркова.
  6. Несмещенность введённой случайной величины, определённой на цепи Маркова.
  7. Общее правило моделирования цепи Маркова. Алгоритм моделирования цепи Маркова для сетки.
  8. Пример точного решения краевой задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона методом разделения переменных и приближённое решение этой задачи методом Монте-Карло.

Задача IV
Решение интегральных уравнений методом Монте-Карло
Метод "блуждания по сферам"

  1. Общая схема решения интегральных уравнений методом Монте-Карло. Приближённое решение и ряд Неймана. Сходимость ряда Неймана к точному решению интегрального уравнения.
  2. Случайная величина, построенная на цепи Маркова, и её несмещённость.
  3. Построение и обоснование алгоритма "блуждания по сферам" для решения краевой задачи Дирихле для уравнения Лапласа.
  4. Условия согласования между вероятностями, определяющими цепь Маркова, ядром и свободным членом интегрального уравнения.
  5. Алгоритм "блуждания по сферам" для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа.
  6. Интегральное уравнение для решения краевой задачи Дирихле для уравнения Пуассона методом "блуждания по сферам".
  7. Алгоритм "блуждания по сферам" для решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
  8. Точное решение краевой задачи Дирихле для уравнения Лапласа и Пуассона методом разделения переменных и получение приближённого решения этих задач методом "блуждания по сферам".

Задача V
Моделирование систем массового обслуживания

  1. Характеристика систем массового обслуживания. Стационарность, ординарность, отсутствие последствия.
  2. Стационарный пуассоновский поток.
  3. Функция надёжности.
  4. Алгоритм расчёта систем с отказами.

Литература

Основная литература

  1. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло в вычислительной математике. Вводный курс. СПб, 2009.
  2. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М., Наука, 1975.
  3. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М., Наука, 1973.
  4. Сабельфельд КК. Методы Монте-Карло в краевых задачах. Новосибирск, Наука, 1989.
  5. Елепов Б.С., Кронберг А.А., Михайлов Г.А., Сабельфельд К.К. Решение краевых задач методом Монте-Карло. Новосибирск, Наука, 1989.
  6. Войтишек А.В. Основы метода Монте-Карло в алгоритмах и задачах: 6 ч., Новосибирск, изд-во НГУ, 1997-2004.
  7. Бусленко Н.П., Шрейдер Ю.А. Метод статистических испытаний. Физматгиз, 1961.
  8. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М., Наука, 1971.
  9. Владимирова Л.В., Курилова К.В. Моделирование электромагнитных полей методом Монте-Карло. Часть I. Метод "блуждания по сферам". Учебное пособие. Санкт-Петербург 2007
  10. Владимирова Л.В. Моделирование электромагнитных полей методом Монте-Карло. Часть II. Метод "блуждания по сетке". Учебное пособие. Санкт-Петербург, 2007
  11. Лейпунский О.И. и др. Распространение гамма квантов в веществе, Физматгиз, М., 1960.
  12. Кофман А., Крюон Р. Массовое обслуживание, теория и приложения. Мир, 1965.
  13. Климов Г.П. Стохастические системы массового обслуживания. М., Наука, 1966.
  14. Овсянников Д.А. Моделирование и оптимизация динамики пучков заряженных частиц. СПб., 1990

Литература дополнительная

Введение
  1. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования. М., Наука, 1976.
Задача I
  1. Крылов В.И. Приближённое вычисление интегралов. М., Физматгиз, 1959.
Задача II
  1. Метод Монте- Карло в проблеме переноса излучений. Сб. статей под ред. Чл.-корр. АНСССР Г.И.Марчука. Атомиздат, М., 1967.
  2. Владимирова Л.В. , Паниотов Р.А. Прохождение ? -квантов через вещество, Abs. of the Fourteen International Workshop: Beam Dynamics & Optimization (July 3-6, 2007, St.Petersburg, Russia ), St.-Petersburg, 2007.
  3. Ишии, Секинэ, Оно (Ishii T., Secine T., Jnj K.) A Monte Carlo calculation of gamma-ray scattering on the jeidac computer, Codes for reactor Comp., Vienna I, Austria 1961, 53-66.
  4. Кипилый В.Г. и др. Исследования параметров нейтронных фильтров, 1998.
  5. Куропатенко Э.С., Огибин В.Н., Об одной схеме моделирования траектории частиц в системах сложной геометрии. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1968, 8, 1, с.211-216.
  6. Матвеев А.В. Козаченко В.И. Котов В.П. Практикум по дозиметрии и радиационной безопасности. Спб, 2006.
  7. Тихомиров Л.Н., Азаров В.А., Силаев М.Е. Экспериментальное и расчетное определение характеристик нейтронного поля вблизи бетонного контейнера, содержащего ампульные нейтронные источники Вестник НЯЦ РК. Атомная энергетика и безопасность АЭС. 2003. № 1. 8-,/li>
Задача III
  1. Михлин С. Г. Курс математической физики, Наука, 1968
  2. Под редакцией Михлина С.Г. Линейные уравнения математической физики. Справочник.
  3. Овсянников Д.А., Егоров Н.В. Математическое моделирование систем формирования электронных и ионных пучков. СПбГУ, 1998.
  4. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М., Мир, 1964
  5. Михайлов Г.А. Некоторые вопросы теории методов Монте-Карло. Новосибирск, 1992.
  6. Ермаков С.М., Некруткин В.В., Сипин А.С. Случайные процессы для решения классических уравнений математической физики. М., Наука, 1984
Задача IV
  1. Елепов Б.С., Михайлов Г.А. Алгоритм "блуждания по сферам" для уравнения . Докл. АН СССР, 1973, т.212, №1, с. 15-18.
  2. Ильин В.П., Петров Е.Н. Некоторые вопросы эффективности численного моделирования электростатических полей. Сб. трудов III Всесоюзного семинара. Численные методы расчёта электронно-оптических систем. Новосибирск, 1971.
  3. Михайлов Г.А. Алгоритмы "блуждания по сферам" для решения уравнения Гельмгольца. Новосибирск, Наука, 1974.
  4. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., Наука, 1966.
  5. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. Физматгиз, М., 1960.
  6. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М., Мир, 1964.
  7. Strutt M.D. Uber die Berechnung des electrostatichen Feldes modernen Electronenrohren, 67,№3, 1949, 36-37, Schweizeriscne Bauzeitung.
  8. Svistunov Yu.A., Kozynchenko S.A. Solving of the field problem in case of charged particle dynamics optimization. Proceedings of RuPAC XIX, Dubna 2004.
Задача V
  1. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. М., Наука, 1968.
  2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М., Кнорус, 2009.
  3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Высшая школа, 1998.