Математическое моделирование
Лектор: доцент Шульц В.Ю.
Целью курса является формирование у студентов систематического представления о математическом моделировании как необходимом инструменте в современной науке и технике, а также обучение студентов оперированию основными математическими моделями и использованию алгоритмов по основным темам дисциплины.
Задачи учебной дисциплины включают:
- Изучение основных положений выбора математического аппарата.
- Исследование различных видов математического моделирования.
- Рассмотрение ряда классических примеров математического моделирования.
- Описание алгоритмов их решения.
Содержание
- Модуль 1. Выбор математического аппарата
-
Основы теории и практики моделирования: базовые понятия. Понятие модели. Классификация моделей. Примеры математических моделей. Математическая модель: принципы построения, цели. Иерархия моделей как метод анализа сложных систем.
Проблемы адекватности моделей: симметрии и инвариантность. Вычислительная сложность и программная реализация. Изменчивость, наследственность, отбор –общие черты эволюционирующих систем.
Динамические системы: фазовое пространство, динамические потоки, операторы эволюции.
Примеры математических моделей частных задач. Математический и физический маятник.
Лагранжев и гамильтонов формализм в теории и практике математического моделирования.
Математические модели систем с управлением. Основные проблемы. Типы систем (со сосредоточенными и распределенными параметрами). Оптимальное управление, стабилизация, построение адаптивных систем управления.
Компьютерное моделирование и вычислительный эксперимент как необходимая составляющая процесса моделирования.
Нелинейный осциллятор как обобщенная модель осциллирующих систем. Примеры осциллирующих систем.
- Модуль 2. Введение в конструктивную теорию математического моделирования
-
Цели, задачи и средства качественной теории динамических систем. Основы качественной теории динамических систем. Функциональная, геометрическая и другие картины описания.
Конструктивная теория динамических систем. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Задача Коши и краевые задачи. Основные положения теории устойчивости.
Примеры динамических систем в терминах ОДУ: маятники Дюффинга и Ван-дер-Поля, системы Хенона-Хейлеса и Лоренца
Конструктивная теория динамических систем. Уравнения в частных производных – уравнения математической физики.
Понятие о некорректных задачах и методах их анализа.
Алгебраические методы Ли в теории динамических систем. Гамильтониан – оператор эволюции (пропагатор) – решение.
Матричный формализм для алгебраических методов Ли. Примеры решения практических задач.
Численные методы решения ОДУ и УЧП. Классификация и модификации методов.
Концепция геометрического интегрирования: методы и алгоритмы.
- Модуль 3. Практические задачи математического моделирования
-
Последовательность: постановка —> качественный анализ —> конструктивный анализ —> алгоритмы —> программный комплекс —> выводы.
Примеры моделей из различных предметных областей: физика, механика, химия, гидродинамика, биология, экономика и т.д.
Литература
- Зайцев Г.А. Алгебраические проблемы математической и теоретической физики. М.: Наука, 1974.
- Кадомцев Б.Б. Динамика и информация. М., Изд. Ред. УФН. 1999.
- Колмогоров А.Н., Фомин С.В.Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1972.
- Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент. М., Наука, 1988.
- Компьютеры и нелинейные явления. М., Наука, 1988.
- Краснощеков П.С., Петров А. А. Принципы построения моделей. М., МГУ, 1984.
- Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М., Наука,1977.
- Подан Э. Структурное программирование и проектирование программ. М. , Мир, 1, 1979.
- Поспелов Г.С. Искусственный интеллект - основа новых информационных технологий. М., Наука, 1989.
- Самарский А.А. 1. Математическое моделирование. М., Наука, 1997.
- Самарский, А. В. Гулин Введение в численные методы. М., Наука, 1989.
- Тихонов А.Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М., Наука, 1982.
- Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М., Наука, 1986.
Сайты по тематике «Математическое моделирование»
- Губарь Ю.В. Введение в математическое моделирование. Интернет курс. http://www.intuit.ru/department/calculate/intromathmodel/ http://quantumcomputers.narod.ru/
