zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Образование  » Программы курсов » Математическое моделирование

Математическое моделирование

Лектор: доцент Шульц В.Ю.

Целью курса является формирование у студентов систематического представления о математическом моделировании как необходимом инструменте в современной науке и технике, а также обучение студентов оперированию основными математическими моделями и использованию алгоритмов по основным темам дисциплины.

Задачи учебной дисциплины включают:

Содержание

Модуль 1. Выбор математического аппарата

Основы теории и практики моделирования: базовые понятия. Понятие модели. Классификация моделей. Примеры математических моделей. Математическая модель: принципы построения, цели. Иерархия моделей как метод анализа сложных систем.

Проблемы адекватности моделей: симметрии и инвариантность. Вычислительная сложность и программная реализация. Изменчивость, наследственность, отбор –общие черты эволюционирующих систем.

Динамические системы: фазовое пространство, динамические потоки, операторы эволюции.

Примеры математических моделей частных задач. Математический и физический маятник.

Лагранжев и гамильтонов формализм в теории и практике математического моделирования.

Математические модели систем с управлением. Основные проблемы. Типы систем (со сосредоточенными и распределенными параметрами). Оптимальное управление, стабилизация, построение адаптивных систем управления.

Компьютерное моделирование и вычислительный эксперимент как необходимая составляющая процесса моделирования.

Нелинейный осциллятор как обобщенная модель осциллирующих систем. Примеры осциллирующих систем.

Модуль 2. Введение в конструктивную теорию математического моделирования

Цели, задачи и средства качественной теории динамических систем. Основы качественной теории динамических систем. Функциональная, геометрическая и другие картины описания.

Конструктивная теория динамических систем. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Задача Коши и краевые задачи. Основные положения теории устойчивости.

Примеры динамических систем в терминах ОДУ: маятники Дюффинга и Ван-дер-Поля, системы Хенона-Хейлеса и Лоренца

Конструктивная теория динамических систем. Уравнения в частных производных – уравнения математической физики.

Понятие о некорректных задачах и методах их анализа.

Алгебраические методы Ли в теории динамических систем. Гамильтониан – оператор эволюции (пропагатор) – решение.

Матричный формализм для алгебраических методов Ли. Примеры решения практических задач.

Численные методы решения ОДУ и УЧП. Классификация и модификации методов.

Концепция геометрического интегрирования: методы и алгоритмы.

Модуль 3. Практические задачи математического моделирования

Последовательность: постановка —> качественный анализ —> конструктивный анализ —> алгоритмы —> программный комплекс —> выводы.

Примеры моделей из различных предметных областей: физика, механика, химия, гидродинамика, биология, экономика и т.д.

Литература

  1. Зайцев Г.А. Алгебраические проблемы математической и теоретической физики. М.: Наука, 1974.
  2. Кадомцев Б.Б. Динамика и информация. М., Изд. Ред. УФН. 1999.
  3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В.Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1972.
  4. Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент. М., Наука, 1988.
  5. Компьютеры и нелинейные явления. М., Наука, 1988.
  6. Краснощеков П.С., Петров А. А. Принципы построения моделей. М., МГУ, 1984.
  7. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М., Наука,1977.
  8. Подан Э. Структурное программирование и проектирование программ. М. , Мир, 1, 1979.
  9. Поспелов Г.С. Искусственный интеллект - основа новых информационных технологий. М., Наука, 1989.
  10. Самарский А.А. 1. Математическое моделирование. М., Наука, 1997.
  11. Самарский, А. В. Гулин Введение в численные методы. М., Наука, 1989.
  12. Тихонов А.Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М., Наука, 1982.
  13. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М., Наука, 1986.

Сайты по тематике «Математическое моделирование»

  1. Губарь Ю.В. Введение в математическое моделирование. Интернет курс. http://www.intuit.ru/department/calculate/intromathmodel/ http://quantumcomputers.narod.ru/