zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Образование  » Программы курсов » Математическое и компьютерное моделирование биодинамических систем

Математическое и компьютерное моделирование биодинамических систем

Курс по выбору по направлению 010400 – «Информационные технологии» (бакалавриат),
Лектор ст. преподаватель В.Ю. Шульц

ВВЕДЕНИЕ

Моделирование как метод познания мира и решения прикладных задач. Математическое моделирование, основные этапы. Классификация математических моделей.

РАЗДЕЛ 1. ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

1. Понятие тензора.
Корвариантные и контравариантные координаты вектора. Преобразование координат. Ковариантная производная вектора. Группы преобразований. Алгебра геометрических объектов. Понятие тензора.
2. Риманово пространство.
Метрический тензор. Понятие геодезических. Ковариантное дифференцирование. Связность. Символы Кристоффеля. Ковариантное дифференцирование и метрика. Формулы Френе. Тензор кривизны. Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве.

РАЗДЕЛ 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

3. Одномерные вариационные задачи.
Уравнения Эйлера-Лагранжа. Основные примеры функционалов.
4. Законы сохранения.
Группы преобразований, сохраняющие вариационную задачу. Примеры. Применение законов сохранения.
5. Гамильтонов формализм.
Преобразование Лежандра. Движущиеся системы координат. Принципы Мопертюи и Ферма. Приложения.
6. Геометрическая теория фазового пространства.
Градиентные системы. Скобка Пуассона. Канонические преобразования.
7. Лагранжевы поверхности.
Пучки траекторий и уравнение Гамильтона-Якоби. Случай гамильтонианов, однородных первого порядка по импульсам.
8. Вторая вариация для уравнения геодезических.
Формула второй вариации. Сопряженные точки и условие минимальности.

РАЗДЕЛ 3. МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ. ПОЛЯ И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ

9. Простейшие многомерные вариационные задачи.
Уравнения Эйлера-Лагранжа. Тензор энергии-импульса. Уравнения электромагнитного поля. Уравнения гравитационного поля. Мыльные пленки. Уравнение равновесия тонкой пластинки. Примеры Лагранжианов.
10. Ковариантное дифференцирование полей с произвольной симметрией.
Калибровочные преобразования. Калибровочно инвариантные лагранжианы. Форма кривизны. Примеры.
11. Примеры калибровочно инвариантных функционалов.
Уравнения Максвелла и Янга-Миллса. Функционалы с тождественно-нулевой вариационной производной.

РАЗДЕЛ 4. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ

12. Предмет механики человека.
Постановка задачи. Основные посылки механики управляемого тела. Первая посылка: основная гипотеза. Вторая посылка: естественное движение. Третья посылка: принцип совместимости. Предмет механики человека.
13. Программирование движения точки на плоскости.
Этапы программирования. Предсказуемые и непредсказуемые движения. Преследование точки. Принцип дополнения. Полная программа преследования. Программирование перемещения точки. Программирование «пишущей» точки. Общий случай конечной программы. Программирование скорости. Общий случай дифференциальной программы первого порядка.
14. Программирование плоскопараллельного движения твердого тела.
Кинематика плоскопараллельного движения. Общие принципы программирования. Программирование места. Программирование ориентации. Преследование точки. Программирование движения типа «погладить кошку». Перемещение человека на коньках.
15. Программирование плоскопараллельного движения руки.
Моделирование суставов. Метод составления уравнений кинематики для базисной модели. Трехзвенная плоская модель руки. Типы задач, решаемых при помощи движения плоской трехзвенной модели руки. Программирование преследующей трехзвенной модели руки. Программирование пишущей трехзвенной модели руки. Программирование конфигурации трехзвенника. Шестизвенная плоская модель руки. Программирование движения шестизвенной модели.
16. Программирование плоскопараллельного движения зрительного аппарата.
Постановка задачи. Базисная модель. Уравнения связей. Программа при фиксации или сопровождении точки. Основная гипотеза механики человека. Смена точки фиксации. Программирование движения при просматривании контура. Общие соображения о программировании.
17. Программирование плоскопараллельного движения системы «глаз-рука».
Система «глаз-рука». Задачи, решаемые при помощи системы «глаз-рука». Программирование движения в задачах типа «взять предмет» или «сопровождать предмет». Программирование движения типа «указать пальцем». Программирование движения в задачах типа «посмотреть на взятый предмет». Обследование пространств, закрытых непрозрачными препятствиями. Об одном возможном эксперименте. Выводы.
18. Программирование пространственного движения модели руки.
Модель и уравнения ее связей. Программирование слежения. Переход через препятствие. программирование письма. Программирование работы на клавишных аппаратах. Программирование конфигурации.
19. Программирование пространственного движения модели зрительного аппарата.
Базисная модель. Уравнения связей. Программа при фиксации или сопровождении точки. Программирование движения при смене точки фиксации. Косой скачек. Программирование движения при просматривании контура.
20. Программирование пространственного движения системы «глаз-рука». Приспособляемость движения.
Система «глаз-рука». Программирование в задачах типа «взять предмет» или «сопровождать предмет». Программирование движения типа «указать пальцем». Справочник программ. Приспособляемость движения. Динамическая выполнимость программы.

РАЗДЕЛ 5. ЕСТЕСТВЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ (ДИНАМИКА НЕУПРАВЛЯЕМЫХ МОДЕЛЕЙ)

21. Элементарная динамика плоской модели руки.
Вывод уравнений движения модели руки. Уравнения плоскопараллельного движения твердого тела. Уравнения движения трехзвенника. Индексные обозначения. Матричные обозначения. Реакции связей.
22. Аналитическая динамика плоской модели руки.
Обобщенные координаты. Уравнения движения в обобщенных координатах. Аксиома идеальности связей Лагранжа. Исключение реакций связей из уравнений движения.
23. Тензорная форма уравнений движения плоской модели руки.
Обозначения и термины. Вычисление метрического тензора. Вычисление символа Кристоффеля. Вычисление обобщенных сил. Контравариантные уравнения движения.
24. Уравнения пространственного движения плоской модели руки.
Движение тела с нулевым креном. Уравнения движения звеньев до их соединения в модель. Уравнения движения трехзвенника.
25. Аналитическая динамика модели зрительного аппарата.
Обозначения для плоской модели. Уравнения движения плоской модели. Уравнения движения пространственной модели.

РАЗДЕЛ 6. ЦЕЛЕНАПРАВЛЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ (АНАЛИТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА)

26. Уравнения целенаправленного движения плоской модели руки.
Принцип совместимости. Программирование движения. Целенаправленные уравнения в опорных координатах. Целенаправленные уравнения в обобщенных координатах. Определение обобщенных управляющих сил в случае полной программы. Определение обобщенных управляющих сил при неполной программе. Произвол при применении принципа совместимости.
27. Уравнения целенаправленного движения модели зрительного аппарата.
Плоская модель зрительного аппарата. пространственная модель зрительного аппарата. Получение управляющих сил в виде функций только времени. Моделирование нистагма глаз.
28. Уравнения целенаправленного движения системы «глаз-рука».
Плоская система. Пространственная система. Влияние нистагма глаз.
29. Определение обобщенных и векторных управляющих сил.
Постановка задачи. Соотношения между обобщенными и векторными и управляющими силами. Реализация целенаправленного движения при помощи пар сил (моментов). Реализация обобщенных программных сил при помощи трехмерных сил. Реализация обобщенных управляющих сил при помощи внутренних сил. Реализация обобщенных управляющих сил при помощи модели мышечного аппарата.
30. Определение реакций в суставах.
Функциональные зависимости для реакций идеальных связей. Реакции в суставах. Неподвижный сустав с трением. Трение во внутренних суставах.
31. Обобщения. Выводы. Перспективы.
Краткий обзор результатов. Экспериментальные подтверждения. Экспериментальные исследования, необходимые для развития механики человека. Перспективы исследований.

Основная литература

  1. Г.В. Коренев. Тензорное исчисление. М., изд. МФТИ, 1996.
  2. В.И. Арнольд. Математические методы классической механики. М., Наука, 1989.
  3. И.М. Гельфанд, С.В. Фомин. Вариационное исчисление. М., Гос. изд. физ.-мат. лит-ры. 1961.
  4. П.К. Рашевский. Риманова геометрия и тензорный анализ. М., Наука, 1967.
  5. Я.А. Схоутен Тензорный анализ для физиков. М., Наука, 1965.
  6. Г.В. Коренев. Цель и приспособляемость движения. М., Наука, 1974.

Дополнительная литература

  1. Г.В. Коренев. Целенаправленная механика управляемых манипуляторов. М., Наука, 1979
  2. Л.Д.Ландау, Е.М. Лившиц. Теоретическая физика. т. I, Механика. М., Наука, 1988.
  3. Л.Д.Ландау, Е.М. Лившиц. Теоретическая физика. т. II, Теория поля. М., Наука, 1988.
  4. Ю.Г. Павленко. Лекции по теоретической механике. Изд. МГУ, 1991.
  5. Б.Е. Победря. Лекции по тензорному анализу. Изд. МГУ. 1988.