zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Образование  » Программы курсов » Локализующие вычисления

Локализующие вычисления

Курс по выбору

Лекторы: д.т.н., профессор Г.Г. Меньшиков
к.ф.-м.н., доцент В.Б. Орлов

Основная литература

  1. Меньшиков Г.Г. Интервальный анализ и методы вычислений. Конспект лекций. СПб.: НИИХ СПбГУ, 1998-2001.
    • Вып.1. Введение в интервальную организацию вычислений. 2-е изд. 2000.
    • Вып.2. Двустороннее решение элементарных задач. Проблема грубости композиционного интервального расчета. 2-е изд. 2000.
    • Вып.3. Интервализация приближенных формул. Численное суммирование рядов. 2-е изд. 2000.
    • Вып.4. Введение в аппроксимацию функций. 2-е изд. 2000.
    • Вып.5. Исследование функций одной переменной. Дифференцирование функций. 1998.
    • Вып.6. Локализующее вычисление интегралов. 1988.
    • Вып.7. Аппроксимация функций и верификация приближений. 1988.
    • Вып.8. Итерационные процессы и системы числовых уравнений. 1999.
    • Вып.9. Элементы локализующего интегрирования дифференциальных уравнений. 2-е изд. 2001.
    • Вып.10. Локализующее интегрирование дифференциальных уравнений (продолжение). Готовится к печати.
  2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений: В 2 т. - М.: Физматгиз, 1959-1960.
  3. Демидович Б.П., Марон И.М. Основы вычислительной математики. - М.: Физматгиз, 1960.
  4. Демидович Б.П., Марон И.М., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. - М.: Физматгиз, 1963.
  5. Бахвалов Н.С. Численные методы. Анализ, алгебра, дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1975.
  6. Данилов В.Л. и др. Математический анализ. Функции, пределы, ряды, цепные дроби. - М.: Физматгиз, 1961.
  7. Методические указания к вычислительному практикуму: В 4 ч. / А.П.Иванов, А.М.Камачкин, Н.Е.Кирин, С.А.Кутузов, С.Е.Михеев, Л.Т.Позняк.- Л.: ЛГУ, 1983-1988.
  8. Сборник задач по методам вычислений: Учеб. пособие для вузов / Под ред. П.И.Монастырного.- М.: Наука, 1994.
  9. Добронец Б.С., Шайдуров В.В. Двусторонние численные методы. - Новосибирск: Наука, 1990.

ВВЕДЕНИЕ

0.1. Обстоятельства проведения научных расчетов.
0.2. Примеры негодной организации вычислений.

ГЛАВА 1. НАЧАЛА ИНТЕРВАЛЬНОЙ ОРГАНИЗАЦИИ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Дополнительная литература

  1. Шокин Ю.И. Интервальный анализ. - Новосибирск: Наука, 1981.
  2. Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. - Новосибирск: Наука, 1986.
  3. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. - М.: Мир, 1987.
1.0. Суть интервального подхода.
1.1. Постулируемые свойства машинной арифметики.
1.2. Локализующие множества и некоторые действия над ними.
1.3. Интервальные функции.
1.4. Интервальные продолжения. Интервальная арифметика.
1.5. Интервальные расширения. Основные теоремы о композициях.
1.6. Интерв. стандартные процедуры типа "приближенное расширение + мажоризация".
1.7. Машинно-программный инструментарий курса.

ГЛАВА 2. ДВУСТОРОННЕЕ РЕШЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЗАДАЧ

2.0. Построение таблицы функции.
2.1. Примеры интервальной реализации негодных алгоритмов.
2.2. Функции размытого аргумента.
2.3. Оценки множеств значений и глобальная экстремизация функций.
2.4. Понятие о двусторонней реализации прямых методов линейной алгебры.
2.5. Интервальные подпрограммы вычисления тригонометрических функций.

ГЛАВА 3. ПРОБЛЕМА ГРУБОСТИ КОМПОЗИЦИОННОГО ИНТЕРВАЛЬНОГО РАСЧЕТА

3.0. Введение. Идеальная модель интервальных вычислений.
3.1. Проблема минимальности интервальных композиционных расширений
3.2. Понятия и свойства, применяемые в теоретическом анализе точности интервальных вычислений.
3.3. Продолжение: интервальное условие Липшица.
3.4. Примеры теоретического анализа точности интервального расчета.
3.5. Проблема уточнения композиционного интервального расширения

ГЛАВА 4. ИНТЕРВАЛИЗАЦИЯ ПРИБЛИЖеННЫХ ФОРМУЛ

4.0. Интервализация функций, заданных приближенным выражением с информацией об остаточном члене.
4.1. Формула Тэйлора.
4.2. MV-форма интервального расширения функции одного аргумента.

ГЛАВА 5. ЧИСЛЕННОЕ СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ

5.0. Введение. Получение оценок остатка.
5.1. Двухходовая алгоритмика суммирования числового ряда.
5.2. Пример реализации алгоритмики суммирования ряда.
5.3. Формула Эйлера "Сумма - интеграл" и ее применение к рядам.
5.4. Ускорение сходимости рядов.

ГЛАВА 6. ВВЕДЕНИЕ В АППРОКСИМАЦИЮ ФУНКЦИЙ

6.0. Предмет, типы и методы аппроксимации.
6.1. Асимптотика как источник приближений.
6.2. Интерполирование.
6.3. Интерполирование степенными полиномами.
6.4. Интерполирование степенными полиномами с равноотстоящими узлами.

ГЛАВА 7. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

7.0. Проблема исследования функций машинными средствами.
7.1. Локализующий поиск точек перемены знака.
7.2. Выяснение знака функции вне отрезка машинного расчета.
7.3. Продолжение: рационализующая мажористика.
7.4. Алгоритмика выделения знак-промежутков.
7.5. Нахождение экстремумов.
7.6. Пример исследования функции.
7.7. Применение системы ЗНАК к разрывным и кусочно-дифференцируемым функциям.

ГЛАВА 8. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

8.0. Приближенное дифференцирование интерполяционного типа.
8.1. Композиционное численное дифференцирование.
8.2. Понятие о символьном дифференцировании.

ГЛАВА 9. ЛОКАЛИЗУЮЩЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ

Дополнительная литература

  1. Никольский С.М. Квадратурные формулы. - М.: Наука, 1988.
  2. Крылов В.И., Шульгина Л.Т. Справочная книга по численному интегрированию. М.: Наука, 1966.
  3. Крылов В.И., Кругликова Л.Г. Справочная книга по численному гармоническому анализу. - Минск: Наука и техника, 1968.
9.0. Квадратурные формулы.
9.1. Интерполяционно-степенные квадратуры с фиксированными узлами и их остатки.
9.2. Интервализованные составные квадратуры.
9.3. Повышение точности интегрирования выделением узловых значений производных.
9.4. Интерполяционно-степенные квадратуры наивысшей степени точности.
9.5. Квадратуры с весом.
9.6. Дальнейшие соображения о ценности различных квадратур.
9.7. Идея предварительного преобразования интеграла.
9.8. Разные темы вычисления собственных интегралов.
9.9. Вычисление несобственных интегралов

ГЛАВА 10. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ И ВЕРИФИКАЦИЯ ПРИБЛИЖЕНИЙ

10.0. Элементы наилучшей равномерной аппроксимации.
10.1. Проблема наилучшего относительного приближения.
10.2. Сведения из анализа: среднеквадратическая аппроксимация и разложение.
10.3. Ортогональные полиномы Чебышева и их применения к полиномиально-степенной аппроксимации.
10.4. Вычислительный эксперимент.
10.5. Экспериментальная верификация приближенных формул.
10.6. Приближение функции по конечному множеству ее значений.

ГЛАВА 11. ИТЕРАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ И СИСТЕМЫ ЧИСЛОВЫХ УРАВНЕНИЙ

11.0. Системы числовых уравнений: основные задачи. Бисекция и простейшие негативные признаки.
11.1. Сведения из Анализа: векторные и матричные функции.
11.2. Сведения из Анализа: неподвижные точки и векторно-числовые итерационные процессы.
11.3. Введение в интервальные итерационные процессы.
11.4. Интервализация ньютоновых итерационных процессов.
11.5. Вариант конфигурации алгоритмического комплекса для поиска решений систем числовых уравнений.

ГЛАВА 12. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОКАЛИЗУЮЩЕГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Дополнительная литература

  1. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений: Нежесткие задачи. - М.: Мир, 1990.
  2. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / Под ред. Дж.Холла, Дж.Уатта. - М.: Мир, 1979.
12.0. Аналитическое введение.
12.1. Элементы качественного исследования уравнений первого порядка.
12.2. Общие сведения о численных методах поиска решений задачи Коши.
12.3. Проблема интервализации интегрирования по Тэйлору.
12.4. Поиск предварительного локализатора.
12.5. Локализующее интегрирование по Тэйлору (продолжение).
12.6. Теоретические оценки ширины локализаторов.
12.7. Применение квадратур к равносильному интегральному уравнению. Метод трапеций.
12.8. Раздельное получение границ локализующей зоны решений.

ГЛАВА 13. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ОСНОВЕ ТОЖДЕСТВА КОШИ-ДЮАМЕЛЯ

13.0. Сведения о линейных дифференциальных уравнениях.
13.1. Формула Коши-Дюамеля для системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами.
13.2. Тождество Коши-Дюамеля для нелинейных уравнений.
13.3. Предварительная локализация на базе тождества Коши-Дюамеля.
13.4. Варианты уточненной локализации.
13.5. Идея совмещения формулы Коши-Дюамеля с линеаризацией правой части дифференциального уравнения.

ГЛАВА 14. ПРОДОЛЖЕНИЕ: АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ПОДДЕРЖКА

14.0. Введение. Локализация комплексных корней полиномов.
14.1. Численное решение проблемы устойчивости степенных полиномов.
14.2. Методы развертывания векового определителя.
14.3. Вычисление матричной экспоненты на основе экспоненциального тождества и разложения в ряд.

ГЛАВА 15. ИНТЕРВАЛЬНО-АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ

15.0. Базовая интервальная программная система для работы с неограниченными промежутками.
15.1. Продолжение: текст базовой интервальной системы и комментарии.
15.2. Монотонность по включению и свойства типа дистрибутивности интервальных отображений.

ДОМАШНИЕ КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

Дополнительная литература

  1. Меньшиков Г.Г. Программное обеспечение интервальных вычислений на языке QBASIC. Файлы cat97.bas, cati98.bas, catz98a.bas. На магнитном носителе. СПбГУ, факультет ПМ-ПУ, 1997-2001.
1. Локализующая экстремизация арифметических функций в прямоугольнике.
2. Локализующее вычисление функций средствами базовой интервальной программной системы.
З. Исследование функции одного аргумента средствами системы ЗНАК.
4. Локализующее суммирование ряда.
5. Локализующее вычисление определенного интеграла.
6. Локализующее вычисление несобственного интеграла.
7. Исследование интеграла с переменным параметром.
8. Локализующее интегрирование ОДУ-1 в совместном режиме формирования зоны.
9. Локализующее интегрирование ОДУ-1 в раздельном режиме формирования зоны.
10. Локализующее интегрирование системы ОДУ в совместном режиме формирования зоны.
11. Локализующее интегрирование системы ОДУ в раздельном режиме формирования зоны.
12. Локализующее интегрирование системы ЛДУ на основе тождества Коши-Дюамеля.