zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Образование  » Программы курсов » Математическое моделирование

Математическое моделирование

Курс по выбору

Составители:
д.ф.-м.н., профессор Демьянов В.Ф.,
к.ф.-м.н., доцент Карелин В.В.,
д.ф.-м.н., профессор Полякова Л.Н..

ВВЕДЕНИЕ

1. Некоторые понятия и классификация систем управления.
2. Проблема выбора функционала.
3. Обработка экспериментальных данных. Метод наименьших квадратов (МНК).
4. Задачи оптимального проектирования.
5. Задачи технической и медицинской диагностики.

Раздел I. МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Глава 1. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

1. Представление линейных систем, наблюдаемость систем. Теорема Р.Калмана.( Описание вход-выходного поведения системы).
2. Соотношение зависимости решения задачи Коши от параметров и начальных данных.

Глава 2. ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ

1. Задачи аналитической идентификации. Теорема Пуанкаре. Теорема о дифференцируемости решений системы дифференциальных уравнений.
2. Метод квазилинеаризации. Линейная задача, задача с нелинейной функцией измерения.
3. Параметрическая идентификация с функционалом МНК.
4. Градиентный метод идентификации для дискретных систем.
5. Градиентный метод идентификации для непрерывных систем.

Глава 3. АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

1. Постановка задачи адаптивного управления.
2. Канонические стратегии.
3. Оптимальные стратегии в линейных системах управления.

Раздел II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Глава 1. ГЛАДКИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ

1. Гладкие задачи безусловной оптимизации. Методы наискорейшего спуска, Ньютона, сопряженных градиентов.
2. Гладкие задачи условной минимизации. Метод условного градиента. Задача математического программирования. Необходимые условия и методы решения. Множители Лагранжа.

Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ НЕГЛАДКОГО АНАЛИЗА

1. Основные понятия негладкого анализа.
2. Производная по направлениям, исчисление производных по направлениям.
3. Производные Дини, Адамара, Кларка.
4. Необходимые и достаточные условия экстремума.

Глава 3. ФУНКЦИЯ МАКСИМУМА И ВЫПУКЛАЯ ФУНКЦИЯ

1. Минимаксные задачи. Примеры моделей с минимаксными критериями. Задача Мандельштама, задача проектирования в радиотехнике. Свойства функции максимума. Последовательный минимакс. Условия экстремума. Численные методы.
2. Выпуклые модели и выпуклые функции. Элементы выпуклого анализа. Понятие субдифференциала. Метод обобщенного градиента.
3. Выпуклые множества. Аппроксимация функций и множеств. Задачи минимизации выпуклой функции на выпуклом множестве.

Глава 4. КВАЗИДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ

1. Квазидифференциалы. Квазидифференциальное исчисление. Условия минимума и максимума.
2. Кодифференцируемые функции и кодифференциальное исчисление. Метод гиподифференциального спуска. Кусочно-линейная аппроксимация.
3. Дважды кодифференцируемые функции. Метод Ньютона для решения негладких систем и для минимизации негладких функций.

Глава 5. МЕТОДЫ ТОЧНЫХ ШТРАФОВ

1. Задачи условной негладкой оптимизации. Методы штрафных функций. Точные штрафные функции.
2. Задачи оптимального управления с негладкими функционалами. Метод точных штрафных функций для решения гладких и негладких задач управления.

ЛИТЕРАТУРА

  1. Зубов В.И. Теория уравнений управляемого движения.- М.: Наука, 1980.
  2. Демьянов В.Ф., Рубинов А.М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление.- М.: Наука, 1990.
  3. Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация квазидифференциальное исчисление.- М.: Наука, 1981.
  4. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ.- М.: Мир, 1988.
  5. Карманов В.Г. Математическое программирование.- М.: Наука, 1975.
  6. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.- М.: Наука, 1976.
  7. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- М.: Наука, 1970.
  8. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления.- М.: Mир, 1975.
  9. Демьянов В.Ф., Карелин В.В., Полякова Л.Н. Математические модели систем управления.- СПб: Изд-во СпбГУ, 2000.