zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Образование  » Программы курсов » Физико-математические модели механики деформируемого твердого тела

Физико-математические модели механики деформируемого твердого тела

Курс по выбору (магистратура направления «Прикладные математика и физика»)

Лектор: Мальков Вениамин Михайлович, доктор физ. - мат. наук, профессор, профессор кафедры моделирования электромеханических и компьютерных систем

Аннотация

Рассматриваются физико-математические модели нелинейной и линейной теории упругости и вязкоупругости. Общая теория состоит из трех разделов: теория деформаций, теория напряжений и теория определяющих уравнений. Первые два раздела строятся совершенно независимо от механических свойств деформируемой среды, эти теории применимы в равной степени к твердым, жидким и газообразным средам. Связь между основными понятиями теории деформаций и теории напряжений устанавливается в третьем разделе - теорией определяющих уравнений. Обсуждаются две конкурирующие модели теории упругости - краевая задача и задача минимизации функционала энергии. Изложение материала дается на основе современного тензорного аппарата в привычном для математика - прикладника стиле: в виде теорем с доказательствами. Существенное внимание уделяется формулировке и методам решения краевых и вариационных задач.

Содержание

ВВОДНАЯ ЧАСТЬ. Элементы теории тензорного поля.

Глава 1. Векторы и тензоры.
Преобразование компонент вектора и тензора. Собственные векторы и собственные значения тензора. Тензоры и квадратичные формы. Полярное разложение несимметричного тензора.
Глава 2. Зависимости между тензорами второго ранга.
Формы связи симметричных соосных тензоров. Тензорный базис симметричного тензора. Тригонометрическая форма главных значений симметричного тензора. Разложение симметричных тензоров по ортогональному тензорному базису.
Глава 3. Криволинейные координаты.
Криволинейные координаты в пространстве. Дифференциальные операции с векторами и тензорами в криволинейных координатах. Дифференцирование в векторных пространствах.

ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ. Теория деформаций.

Глава 4. Теория деформаций сплошной среды.
Материальные и пространственные координаты. Градиент деформации. Изменение длины и направления линейного элемента. Изменение объема элемента среды. Изменение площади элемента поверхности. Тензоры деформации, главные направления деформации.
Глава 5. Дополнительные сведения о деформациях.
Косоугольные координаты. Условия совместности деформаций. Основной и взаимный базисы. Метрические тензоры. Дифференцирование в координатах общего вида.

ВТОРОЙ РАЗДЕЛ. Теория напряжений.

Глава 6. Теория напряжений сплошной среды.
Принцип напряжений и теорема Коши. Тензор напряжений, собственные векторы и собственные значения. Уравнения равновесия и принцип виртуальной работы в текущей и отсчетной конфигурациях. Консервативные внешние силы.
Глава 7. Работа напряжений и вариационные принципы.
Энергетические пары тензоров. Начало возможных перемещений. Принцип возможных напряжений. Соотношения между компонентами тензоров энергетических пар, не зависящие от свойств материала.

ТРЕТИЙ РАЗДЕЛ. Теория определяющих уравнений.

Глава 8. Упругие материалы.
Определение упругого материала по Коши. Независимость материала от системы отсчета. Изотропные упругие материалы. Функции реакции упругого изотропного материала. Определяющие уравнения вблизи отсчетной конфигурации, обобщенный закон Гука.
Глава 9. Гиперупругие материалы.
Определяющие уравнения гиперупругого материала. Упругий потенциал материала независящего от системы отсчета и изотропного. Некоторые формы упругих потенциалов. Задача минимизации полной энергии.
Глава 10. Вязкоупругие материалы.
Определяющие уравнения линейной и нелинейной нелинейной вязкоупругости. Функции релаксации. Наследственная теория вязкоупругости, линейный закон вязкоупругости Больцмана - Вольтерра.

Приложение.

Глава 11. Плоская и осесимметричная деформация.
Обобщенная плоская деформация. Осесимметричная деформация.
Глава 12. Динамические уравнения механики сплошных сред.
Закон сохранения массы. Уравнения нелинейной динамической теории упругости. Термодинамика обратимой деформации.
Глава 13. Линейная теория упругости.
Основные уравнения статики и динамики линейной теории упругости. Некоторые линейные линейные задачи. Вариационные методы решения задач. Методы интегральных преобразований. Методы теории комплексной переменной в плоских задачах.
Глава 14. Колебания и волны в упругой среде.
Волны расширения и сдвига. Плоские волны. Отражение плоских волн от жесткой и свободной поверхности. Поверхностные волны Релея.
Глава 16. Асимптотические методы в линейной теории упругости.
Применение асимптотических разложений по малому параметру для построения уравнений малой размерности по пространственным переменным для тел малой толщины. Уравнения теории слоя, теории пластин и оболочек.

Основная литература

  1. Мальков В.М. Основы математической нелинейной теории упругости. СПб.: Изд-во СПбГУ. 2002. 216 с.
  2. Новожилов В.В. Теория упругости. Л.: Судостроение. 1958. 370 с.
  3. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука. 1980. 512 с.
  4. Сьярле Ф. Математическая теория упругости. М.: Мир. 1992. 472 с.
  5. Мальков В.М. Механика многослойных эластомерных конструкций. СПб.: Изд-во СПбГУ. 1998. 320 с.
  6. Ворович И.И., Лебедев Л.П. Функциональный анализ и его приложения в механике сплошной среды. М.: Вузкнига. 2000. 320 с.
  7. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1,2. М.: Наука. 1973.

Дополнительная литература

  1. Грин А.Е., Адкинс Дж. Е. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир. 1965.
  2. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир. 1976.
  3. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука. 1979.
  4. Годунов С.К., Роменский Е.И. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения. Новосибирск: Научная книга. 1998. 268 с.
  5. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1968. 496 с.
  6. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука. 1966. 708 с.