Качественная теория уравнений управляемых процессов
Курс по выбору
1. Автономные динамические системы
Свойства решений автономных систем. Классификация траекторий. Предельные множества. Устойчивость по Лагранжу. Механическая интерпретация автономной системы. Фазовый поток. Теорема Лиувилля. Интегралы автономной системы. Теорема о спрямлении векторного поля.
2. Автономные системы на плоскости
Дуга и цикл без контакта. Предельные точки и предельные траектории. Классифи- кация траекторий. Теорема Бендиксона. Положения равновесия линейных автономных систем на плоскости. Поведение траекторий в окрестности простого положения равновесия. Проблема центра-фокуса. Теорема Ляпунова.
3. Предельные циклы
Существование предельного цикла. Теорема Пуанкаре-Бендиксона. Критерии отсутствия предельных циклов ( Дюлак, Бендиксон ). Устойчивость предельного цикла. Критерий Пуанкаре. Функция последования. Уравнения Ван-дер-Поля, Рэлея и Льенара. Элементы теории бифуркаций. Понятия негрубой и грубой системы и траектории. Бифуркации, связанные с поворотом векторного поля. Бифуркация рождения предельного цикла из сложного фокуса. Теорема Хопфа.
4. Множества управляемости и достижимости управляемых систем
Анализ управляемости и достижимости в линейных системах. Множества нуль- управляемости и нуль-достижимости линейных стационарных систем. Ограничения на управления. Интегральная воронка. Множество достижимости нестационарных линейных систем. Выпуклость, компактность и непрерывная зависимость от врнемени. Метод опорных гиперплоскостей. Экстремальные управления. Граница множества достижимости. Угловые точки и грани. Примеры. Множество достижимости билинейных систем. Выпуклость. Непрерывная зависимость от начальной точки. Зависимость множеств управляемости и достижимости от параметра. Уравнения Ван-дер-Поля и Льенара с упралением. Применение метода функций Ляпунова для оценки множеств управляемости и достижимости нелинейных систем.
Литература
- Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966.
- Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976.
- Рейссиг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифферен- циальных уравнений. М.: Наука, 1974.
- Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. Волгоград: Платон, 1997.
- Формальский А.М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. М.: Наука, 1974.
- Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.
- Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: Наука, 1988.
- Алексеев Н.К. Зависимость множества управляемости от параметра. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1987.
