zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Образование  » Программы курсов » Качественная теория уравнений управляемых процессов

Качественная теория уравнений управляемых процессов

Курс по выбору

Лектор: доцент А.В.Екимов

1. Автономные динамические системы

Свойства решений автономных систем. Классификация траекторий. Предельные множества. Устойчивость по Лагранжу. Механическая интерпретация автономной системы. Фазовый поток. Теорема Лиувилля. Интегралы автономной системы. Теорема о спрямлении векторного поля.

2. Автономные системы на плоскости

Дуга и цикл без контакта. Предельные точки и предельные траектории. Классифи- кация траекторий. Теорема Бендиксона. Положения равновесия линейных автономных систем на плоскости. Поведение траекторий в окрестности простого положения равновесия. Проблема центра-фокуса. Теорема Ляпунова.

3. Предельные циклы

Существование предельного цикла. Теорема Пуанкаре-Бендиксона. Критерии отсутствия предельных циклов ( Дюлак, Бендиксон ). Устойчивость предельного цикла. Критерий Пуанкаре. Функция последования. Уравнения Ван-дер-Поля, Рэлея и Льенара. Элементы теории бифуркаций. Понятия негрубой и грубой системы и траектории. Бифуркации, связанные с поворотом векторного поля. Бифуркация рождения предельного цикла из сложного фокуса. Теорема Хопфа.

4. Множества управляемости и достижимости управляемых систем

Анализ управляемости и достижимости в линейных системах. Множества нуль- управляемости и нуль-достижимости линейных стационарных систем. Ограничения на управления. Интегральная воронка. Множество достижимости нестационарных линейных систем. Выпуклость, компактность и непрерывная зависимость от врнемени. Метод опорных гиперплоскостей. Экстремальные управления. Граница множества достижимости. Угловые точки и грани. Примеры. Множество достижимости билинейных систем. Выпуклость. Непрерывная зависимость от начальной точки. Зависимость множеств управляемости и достижимости от параметра. Уравнения Ван-дер-Поля и Льенара с упралением. Применение метода функций Ляпунова для оценки множеств управляемости и достижимости нелинейных систем.

Литература

  1. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966.
  2. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976.
  3. Рейссиг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифферен- циальных уравнений. М.: Наука, 1974.
  4. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. Волгоград: Платон, 1997.
  5. Формальский А.М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. М.: Наука, 1974.
  6. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.
  7. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: Наука, 1988.
  8. Алексеев Н.К. Зависимость множества управляемости от параметра. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1987.