zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Образование  » Программы курсов » Математический анализ динамических систем

Математический анализ динамических систем

Направление – 010400, Магистерская программа «Методы прикладной математики и информатики в задачах управления».
Курс по выбору 4 семестр.

Лектор: проф., д.ф.-м.н. А.П.Жабко

Цель и задачи курса

Целью дисциплины является обучение студентов дополнительным главам математического и функционального анализа, теории и методам динамических систем. В результате изучения курса магистр прикладной математики и информатики овладеет теоретическими основами математического моделирования непрерывных динамических систем, основными методами и алгоритмами качественного анализа динамических систем, освоит практические навыки анализа сложных нелинейных динамических моделей в математике, математической физике, биологии, медицине, экономике.

Центральной особенностью курса является сочетание его фундаментальной направленности с практической ориентацией рассматриваемых подходов и методов.

Краткое содержание

Введение.
Метрические пространства. Свойства метрики. Сходимость. Примеры. Непрерывные отображения. Параметрические операторы и функционалы. Окрестность множества. Всюду плотные и нигде не плотные множества. Сепарабельность, компактность, ограниченность. Счетная база. Нормированные пространства. Банаховы пространства. Примеры.
1. Динамические системы в метрических пространствах.
Динамические системы в евклидовых пространствах, в функциональных пространствах, в метрических пространствах. Примеры. Траектории и полутраектории. Непрерывная зависимость от начальных данных. Теорема о 3-х видах траекторий. Точки покоя, периодические движения. Примеры динамических систем в в естествознании.
2. Возвращаемость и минимальные множества.
Возвращаемость открытых множеств. Блуждающие и неблуждающие точки, их свойства. Примеры. Минимальное множество. Почти периодические функции по Бору. Интеграл и производная почти периодической функции. Предельные свойства почти периодических функций. Спектр и ряд Фурье.
3. Эргодическая теория.
Пространства с конечной и сигма-конечной мерой. Динамические системы с дискретным временем. Мера, инвариантная относительно динамической системы. Критерий существования интегрального инварианта для обыкновенных дифференциальных уравнений. Мера Каратеодори. Измеримые множества и функции. Первая эргодическая теорема о существовании временного среднего на траектории. Транзитивные динамические системы. Вторая эргодическая теорема и ее следствия. Статистические эргодические теоремы.
4. Периодические динамические системы.
Периодические динамические системы в евклидовом пространстве, в функциональном пространстве, в метрическом пространстве. Непрерывная зависимость траекторий от начальных данных. Инвариантные множества, точки покоя, периодические движения 1-го и 2-го типов. Сечение инвариантных множеств. Предельные множества. Устойчивость по Лагранжу. Устойчивость по Пуассону, минимальные множества. Устойчивость по Ляпунову инвариантных множеств. Асимптотическая устойчивость по Ляпунову.

Литература

  1. А.П.Жабко, С.Н.Кирпичников Лекции по динамическим системам. Части 1-4. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2003-2004, 516 с.
  2. Александров А.Ю. Жабко А.П. Устойчивость разностных систем. – СПб.: НИИ химии СПбГУ, 2003. 112 с.
  3. Б.П.Демидович. Лекции по математической теории устойчивости. М., Наука, 1967.
  4. В.И.Зубов. Колебания и волны. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1989. 416с.
  5. В.И.Зубов. Динамика управляемых систем.– Изд-во С.-Петербургского ун-та, 2004. 378 с.