Вариационное исчисление
Общий курс
Составители: профессор, доктор физ.-мат. наук Е.И. Веремей, доцент, кандидат физ.-мат. наук Н.А. Жабко
- ТЕМА 1. Введение.
- Задача построения оптимальных программных движений. Задача оптимальной стабилизации программных движений. Классическое вариационное исчисление и теория устойчивости Ляпунова - базовый математический аппарат теории управления. Новые оптимизационные подходы.
- ТЕМА 2. Основные понятия вариационного исчисления.
- Примеры содержательных задач о поиске экстремумов. Типовые формализованные задачи вариационного исчисления. Основные понятия и определения. Линейные функционалы в линейных нормированных пространствах (ЛНП). Общая постановка задачи вариационного исчисления. Классификация экстремумов.
- ТЕМА 3. Необходимые условия экстремума в линейных нормированных метрических пространствах (ЛНМП).
- Элементы дифференциального исчисления в линейных нормированных пространствах. Примеры сильно дифференцируемых функционалов. Сильная дифференцируемость функционала классического вариационного исчисления. Условия экстремума функционалов в линейных нормированных пространствах.
- ТЕМА 4. Простейшая основная задача вариационного исчисления.
- Необходимые условия экстремума в простейшей задаче. Основные леммы вариационного исчисления. Уравнение Эйлера. Экстремали в регулярной и сингулярной ситуациях. Случаи упрощения уравнения Эйлера. Примеры.
- ТЕМА 5. Обобщения простейшей задачи вариационного исчисления.
- Вариационная задача с незакреплёнными границами. Однопараметрическое семейство допустимых функций. Первый дифференциал по параметру. Условия трансверсальности. Разрывные задачи. Условия Вейерштрасса-Эрдмана. Задачи с ограничениями. Односторонние вариации.
- ТЕМА 6. Достаточные условия экстремума. Сильный относительный экстремум.
- Вторая вариация функционала. Условие Лежандра. Достаточные условия слабого относительного экстремума. Геометрическая интерпретация достаточных условий слабого локального экстремума. Достаточные условия сильного относительного экстремума. Необходимые условия сильного относительного экстремума.
- ТЕМА 7. Вариационные задачи для случая многих неизвестных функций.
- Простейшая вариационная задача с n неизвестными. Каноническая форма системы дифференциальных уравнений Эйлера. Обобщения простейшей вариационной задачи для случая n неизвестных. Сильный относительный экстремум.
- ТЕМА 8. Вариационные задачи на условный экстремум.
- Правило множителей Лагранжа в задаче конечномерной оптимизации. Вариационная задача Лагранжа на условный экстремум. Частные ситуации при задании дифференциальных связей в нормальной форме. Изопериметрическая задача.
- ТЕМА 9. Основные понятия и задачи теории оптимального управления.
- Пример содержательной задачи о построении оптимального управления. Задача оптимального программного управления как вариационная задача на условный экстремум. Классификация задач теории оптимального управления.
- ТЕМА 10. Необходимые условия экстремума в задаче Больца.
- Построение оптимальных программных управлений в задаче Больца. Однопараметрическое семейство допустимых управлений. Первый дифференциал по параметру. Необходимые условия экстремума и их каноническая форма.
- ТЕМА 11. Оптимальное демпфирование переходных процессов.
- Оптимальное демпфирование по отношению к функции. Задача об оптимальном быстродействии. Связь задач оптимального демпфирования и минимизации интегральных функционалов. Достаточные условия экстремума в задаче Лагранжа.
- ТЕМА 12. Принцип Вейерштрасса и принцип максимума в теории оптимального управления.
- Принцип Вейерштрасса - необходимое условие экстремума. Постановка задачи. Понятие игольчатой вариации управления. Доказательство принципа Вейерштрасса. Принцип максимума и его соотношение с принципом Вейерштрасса.
Рекомендуемая литература
Основная
- Эльсгольц Л. Э. Вариационное исчисление. – М., УРСС,2006, – 208с.
- Краснов М. Л., Макаренко Г. И., Киселёв А. И. Вариационное исчисление. – М., УРСС, 2003. – 176 с.
- Цлаф Л. Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. – СПб, Лань, 2005. – 192 с.
- Зубов В. И. Лекции по теории управления. – М., Наука, 1975. – 496 с.
- Зубов В. И. Динамика управляемых систем. – СПб., Изд-во СПбГУ, 2004. – 380 с.
Дополнительная
- Ракин Л. В. Введение в вариационное исчисление. – СПб., Изд-во СПбГУ, 2000.
- Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. – М., Физматгиз, 1961. – 228 с.
- Гюнтер Н. М. Курс вариационного исчисления. – Л.–М., Гостехиздат, 1941.
- Демьянов В. Ф. Условия экстремума и вариационное исчисление. – М., Высш. шк., 2005. – 335 с.
- Петров Ю. П. Вариационные методы теории оптимального управления. – Л., Энергия, 1977.
- Алексеев В. М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. – М., Физматлит, 2005. – 384 с.
- Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. – М., Наука, 1975.
