zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Образование  » Программы курсов » Вариационное исчисление

Вариационное исчисление

Общий курс

Составители: профессор, доктор физ.-мат. наук Е.И. Веремей, доцент, кандидат физ.-мат. наук Н.А. Жабко

ТЕМА 1. Введение.
Задача построения оптимальных программных движений. Задача оптимальной стабилизации программных движений. Классическое вариационное исчисление и теория устойчивости Ляпунова - базовый математический аппарат теории управления. Новые оптимизационные подходы.
ТЕМА 2. Основные понятия вариационного исчисления.
Примеры содержательных задач о поиске экстремумов. Типовые формализованные задачи вариационного исчисления. Основные понятия и определения. Линейные функционалы в линейных нормированных пространствах (ЛНП). Общая постановка задачи вариационного исчисления. Классификация экстремумов.
ТЕМА 3. Необходимые условия экстремума в линейных нормированных метрических пространствах (ЛНМП).
Элементы дифференциального исчисления в линейных нормированных пространствах. Примеры сильно дифференцируемых функционалов. Сильная дифференцируемость функционала классического вариационного исчисления. Условия экстремума функционалов в линейных нормированных пространствах.
ТЕМА 4. Простейшая основная задача вариационного исчисления.
Необходимые условия экстремума в простейшей задаче. Основные леммы вариационного исчисления. Уравнение Эйлера. Экстремали в регулярной и сингулярной ситуациях. Случаи упрощения уравнения Эйлера. Примеры.
ТЕМА 5. Обобщения простейшей задачи вариационного исчисления.
Вариационная задача с незакреплёнными границами. Однопараметрическое семейство допустимых функций. Первый дифференциал по параметру. Условия трансверсальности. Разрывные задачи. Условия Вейерштрасса-Эрдмана. Задачи с ограничениями. Односторонние вариации.
ТЕМА 6. Достаточные условия экстремума. Сильный относительный экстремум.
Вторая вариация функционала. Условие Лежандра. Достаточные условия слабого относительного экстремума. Геометрическая интерпретация достаточных условий слабого локального экстремума. Достаточные условия сильного относительного экстремума. Необходимые условия сильного относительного экстремума.
ТЕМА 7. Вариационные задачи для случая многих неизвестных функций.
Простейшая вариационная задача с n неизвестными. Каноническая форма системы дифференциальных уравнений Эйлера. Обобщения простейшей вариационной задачи для случая n неизвестных. Сильный относительный экстремум.
ТЕМА 8. Вариационные задачи на условный экстремум.
Правило множителей Лагранжа в задаче конечномерной оптимизации. Вариационная задача Лагранжа на условный экстремум. Частные ситуации при задании дифференциальных связей в нормальной форме. Изопериметрическая задача.
ТЕМА 9. Основные понятия и задачи теории оптимального управления.
Пример содержательной задачи о построении оптимального управления. Задача оптимального программного управления как вариационная задача на условный экстремум. Классификация задач теории оптимального управления.
ТЕМА 10. Необходимые условия экстремума в задаче Больца.
Построение оптимальных программных управлений в задаче Больца. Однопараметрическое семейство допустимых управлений. Первый дифференциал по параметру. Необходимые условия экстремума и их каноническая форма.
ТЕМА 11. Оптимальное демпфирование переходных процессов.
Оптимальное демпфирование по отношению к функции. Задача об оптимальном быстродействии. Связь задач оптимального демпфирования и минимизации интегральных функционалов. Достаточные условия экстремума в задаче Лагранжа.
ТЕМА 12. Принцип Вейерштрасса и принцип максимума в теории оптимального управления.
Принцип Вейерштрасса - необходимое условие экстремума. Постановка задачи. Понятие игольчатой вариации управления. Доказательство принципа Вейерштрасса. Принцип максимума и его соотношение с принципом Вейерштрасса.

Рекомендуемая литература

Основная

  1. Эльсгольц Л. Э. Вариационное исчисление. – М., УРСС,2006, – 208с.
  2. Краснов М. Л., Макаренко Г. И., Киселёв А. И. Вариационное исчисление. – М., УРСС, 2003. – 176 с.
  3. Цлаф Л. Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. – СПб, Лань, 2005. – 192 с.
  4. Зубов В. И. Лекции по теории управления. – М., Наука, 1975. – 496 с.
  5. Зубов В. И. Динамика управляемых систем. – СПб., Изд-во СПбГУ, 2004. – 380 с.

Дополнительная

  1. Ракин Л. В. Введение в вариационное исчисление. – СПб., Изд-во СПбГУ, 2000.
  2. Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. – М., Физматгиз, 1961. – 228 с.
  3. Гюнтер Н. М. Курс вариационного исчисления. – Л.–М., Гостехиздат, 1941.
  4. Демьянов В. Ф. Условия экстремума и вариационное исчисление. – М., Высш. шк., 2005. – 335 с.
  5. Петров Ю. П. Вариационные методы теории оптимального управления. – Л., Энергия, 1977.
  6. Алексеев В. М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. – М., Физматлит, 2005. – 384 с.
  7. Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. – М., Наука, 1975.