Уравнения математической физики
Общий курс
Уравнения математической физики. Составитель: Л.В.РакинУравнения математической физики. Составитель: Ю.З.Алешков
Введение
Вывод основных уравнений математической физики. Уравнения колебаний струны, колеба-ний мембраны, гидродинамики и звуковых волн, распространения тепла в изотропном твердом теле. Клас-сификация линейных дифференциальных уравнений второго порядка с частными производными. Приведе-ние их к каноническому виду. Дифференциальные уравнения первого порядка с частными производными квазилинейные и нелинейные. Понятие о краевой задаче, постановка задачи Коши. Формулы Грина.Уравнения эллиптического типа
Сингулярное решение уравнения Лапласа. Интегральное представле-ние функций класса . Теорема о среднем. Принцип максимума для эллиптического уравнения. Краевые задачи для эллиптического уравнения. Теорема единственности решения задачи Дирихле. Теорема единст-венности решения задачи Неймана. Формула Пуассона. Решение задачи Дирихле для шара. Теория потен-циала. Теорема о гармоничности потенциалов простого и двойного слоя. Поведение потенциалов простого и двойного слоя при пересечении слоя. Теоремы о гладкости объемного потенциала. Понятие интеграль-ного уравнения. Классификация интегральных уравнений. Некоторые задачи, приводящие к интегральным уравнениям. Линейные операторы: определение, примеры, действия с линейными операторами, непрерыв-ные и ограниченные линейные операторы, норма линейного оператора, собственные векторы линейного оператора. Симметричные и вполне непрерывные операторы в гильбертовом пространстве. Симметричные и вполне непрерывные интегральные операторы. Интегральные операторы со слабой особенностью. Инте-гральные операторы с симметричными ядрами. Задача Штурма - Лиувилля. Неоднородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода с симметричным ядром. Неоднородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода с произвольным ядром. Альтернатива Фредгольма. Интегральное уравнение Фредгольма второго рода с комплексным параметром. Интегральные уравнения Вольтерры. Решение за-дач Дирихле и Неймана методом потенциалов. Средние функции. Свойства усреднения. Понятие об обоб-щенной производной. Обратная теорема о среднем. Вариационный метод решения уравнения с положи-тельно определенным оператором. Неравенство Фридрихса. Расширение положительно определенного оператора. Обобщенное решение уравнения с положительно определенным оператором. Положительная определенность оператора задачи Дирихле для эллиптического самосопряженного уравнения и однородно-го граничного условия. Теорема существования и единственности обобщенного решения задачи Дирихле для эллиптического самосопряженного уравнения и неоднородного граничного условия. Теорема сущест-вования и единственности задачи Неймана для эллиптического уравнения и однородного граничного усло-вия.Параболические и гиперболические уравнения
Уравнение теплопроводности. Задача Коши и смешанная задача для уравнения теплопроводности. Принцип максимума для уравнения теплопроводности. Теорема единственности решения смешанной задачи для уравнения теплопроводности. Теорема единственности ог-раниченного решения задачи Коши для уравнения теплопроводности. Понятие обобщенного решения сме-шанной задачи для уравнения теплопроводности. Теорема единственности обобщенного решения смешан-ной задачи для уравнения теплопроводности. Понятие обобщенного решения смешанной задачи для вол-нового уравнения. Единственность обобщенного решения смешанной задачи для волнового уравнения. Применение метода характеристик к изучению волнового уравнения. Единственность решения задачи Ко-ши для волнового уравнения.. Уравнение колебаний струны, решение Даламбера. Метод Фурье (метод раз-деления переменных ) решения смешанных задач для уравнений с частными производными (общая схе-ма).Метод Фурье для уравнений теплопроводности и свободных колебаний струны. Решение задачи Коши для уравнений теплопроводности и волнового уравнения. Квазилинейное уравнение колебаний струны.Литература
- Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М., 1970.
- Курант Р. Уравнения с частными производными. М., 1964.
- Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М., 1976.
- Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М., 1957.
- Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М., 1961.
- Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений. М., 1965.
- Ракин Л.В. Введение в теорию уравнений математической физики. СПб., 1999.
- Ракин Л.В. Линейные интегральные уравнения. СПб., 1997.
- Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М., 1979.
- Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М., 1947.
- Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., 1972.
- Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. М., 1960.
I. Принципы механики и физики
- Предшественники И. Ньютона в механике.
- И. Ньютон и его "Математические начала натуральной философии".
- Законы механики.
- Движение материальной точки в силовых полях.
- Вывод закона Всемирного тяготения из законов И. Кеплера.
- Система материальных точек.
- Законы электродинамики. Д. К. Максвелл и его "Трактат об электричестве и магнетизме".
- Закон индукции Фарадея, закон Ампера, закон сохранения заряда.
- Уравнения Максвелла, скалярный и векторный потенциал.
- Электромагнитное поле в вакууме.
- Инвариантность формы уравнений Максвелла.
- Законы механики сплошных сред. Л. Эйлер и аналитическое изложение механики. "Аналитическая механика" Лагранжа.
- Законы сохранения массы, количества движения, момента количества движения и энергии.
- Геологические соотношения. Упругое тело, закон Гука. Ньютоновская жидкость.
- Первый и второй законы термодинамики.
- Динамика электропроводной жидкости. Пондеромоторная сила. Законы Фарадея, Ампера, сохранения заряда для сплошной среды.
- Уравнения движения электропроводной жидкости в дивергентной форме.
- Описание движения смесей. Гомогенные и гетерогенные смеси. Законы сохранения массы, импульса, энергии для данной компоненты смеси. Термодинамическое соотношение Гиббса для компоненты смеси. Уравнения движения смеси в целом. Энтропия смеси. Второй закон термодинамики для смеси. Производство энтропии.
- Магнитная гидродинамика. Интегралы системы уравнений МГД. Задача коши для системы уравнений идеальной плазмы. Поверхности слабого разрыва. Простые волны в идеальной плазме.
- Поверхности сильного разрыва. Классификация поверхностей разрыва в идеальной плазме.
- Волновое движение несжимаемой электропроводной жидкости. Простая волна. Волновые движения несжимаемой плазмы.
- Несжимаемая электрически нейтральная жидкость. Аэрогидродинамика. Волны на воде. Движение тела в слое жидкости. Однородная и стратифицированная жидкость. Газовая динамика. Большие дозвуковые скорости. Околозвуковые течения. Сверхзвуковые течения и ударные волны.
II. Уравнения с частными производными.
- Уравнения первого порядка, линейные, квазилинейные, нелинейные. Геометрическая интерпретация уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными. Задача Коши и характеристики. Случай любого числа независимых переменных. Полный, общий и особый интегралы. Система двух нелинейных уравнений первого порядка с одной искомой функцией. Система линейных уравнений. Аналитический случай, теорема Коши-Ковалевской, метод мажоратных рядов. Существование и единственность задачи Коши.
- Уравнения второго порядка. Классификация квазилинейных уравнений, приведение к каноническому виду. Случай двух независимых переменных. Задача Коши для уравнений второго порядка. Характеристики при любом числе независимых переменных, бихарактеристики. Уравнения гиперболического типа. Метод Римана решения зачади Коши для линейного уравнения с двумя независимыми переменными. Волновое уравнение, формулы Кирхгора, Пуассона, Даламбера, С. Л. Соболева. Метод Фурье решения краевой задачи об определении свободных и вынужденных колебаний ограниченной струны. Обобщенные решения. Уравнения элиптического типа. Кравевые задачи в классической и обощенной постановке. Существование и единственность обощенного решения. Вариационный метод решения краевых задача Дирихле и Неймана. Гладкость обобщенных решений. Классические решения. Гармонические функции. Принципы максимума. Формулы Грина. Фундаментальные решения уравнений Лапласа и Гельмгольца. Потенциалы простого и двойного слоя. Уравнения параболического типа. Задача Коши, начально краевые задачи. Принцип максимума. Уравнение теплопроводности (диффузии) на прямой, на полупрямой. Однородное и неоднородное уравнения на отрезке. Распространение тепла в пространстве. Постоянно действующий источник. Мгновенно действующий источник. Задача Коши для уравнения теплопроводности в пространстве.
- Линейные интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Метод последовательных приближений. Случай вырожденного ядра . Резольвента. Случай ядра, представимого в виде суммы вырожденного и "малого" ядер. Ядра интегральных уравнений со слабой особенностью.
Литература
- Алешков Ю. З. Математическое моделирование физических процессов. СПб., 2001.
- Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М., 1981.
- Зубов В. И. Колебания и волны. Л., 1989.
- Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М.; Л., 1962.
- Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М., 1973.
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. М., 1988.
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М., 1992.
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М., 1986.
- Смирнов В. И. Курс высшей математики: В 5 т. Т. 4. Ч. 1. М., 1974; Т. 4. Ч. 2. М., 1981.
- Соболев С. Л. Уравнения математической физики. М., 1954.
- Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М., 1977.