Уравнения математической физики

Общий курс

Уравнения математической физики. Составитель: Л.В.Ракин
Уравнения математической физики. Составитель: Ю.З.Алешков

Составитель: к.ф.-м.н., доцент Ракин Л.В.

Введение

Вывод основных уравнений математической физики. Уравнения колебаний струны, колеба-ний мембраны, гидродинамики и звуковых волн, распространения тепла в изотропном твердом теле. Клас-сификация линейных дифференциальных уравнений второго порядка с частными производными. Приведе-ние их к каноническому виду. Дифференциальные уравнения первого порядка с частными производными квазилинейные и нелинейные. Понятие о краевой задаче, постановка задачи Коши. Формулы Грина.

Уравнения эллиптического типа

Сингулярное решение уравнения Лапласа. Интегральное представле-ние функций класса . Теорема о среднем. Принцип максимума для эллиптического уравнения. Краевые задачи для эллиптического уравнения. Теорема единственности решения задачи Дирихле. Теорема единст-венности решения задачи Неймана. Формула Пуассона. Решение задачи Дирихле для шара. Теория потен-циала. Теорема о гармоничности потенциалов простого и двойного слоя. Поведение потенциалов простого и двойного слоя при пересечении слоя. Теоремы о гладкости объемного потенциала. Понятие интеграль-ного уравнения. Классификация интегральных уравнений. Некоторые задачи, приводящие к интегральным уравнениям. Линейные операторы: определение, примеры, действия с линейными операторами, непрерыв-ные и ограниченные линейные операторы, норма линейного оператора, собственные векторы линейного оператора. Симметричные и вполне непрерывные операторы в гильбертовом пространстве. Симметричные и вполне непрерывные интегральные операторы. Интегральные операторы со слабой особенностью. Инте-гральные операторы с симметричными ядрами. Задача Штурма - Лиувилля. Неоднородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода с симметричным ядром. Неоднородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода с произвольным ядром. Альтернатива Фредгольма. Интегральное уравнение Фредгольма второго рода с комплексным параметром. Интегральные уравнения Вольтерры. Решение за-дач Дирихле и Неймана методом потенциалов. Средние функции. Свойства усреднения. Понятие об обоб-щенной производной. Обратная теорема о среднем. Вариационный метод решения уравнения с положи-тельно определенным оператором. Неравенство Фридрихса. Расширение положительно определенного оператора. Обобщенное решение уравнения с положительно определенным оператором. Положительная определенность оператора задачи Дирихле для эллиптического самосопряженного уравнения и однородно-го граничного условия. Теорема существования и единственности обобщенного решения задачи Дирихле для эллиптического самосопряженного уравнения и неоднородного граничного условия. Теорема сущест-вования и единственности задачи Неймана для эллиптического уравнения и однородного граничного усло-вия.

Параболические и гиперболические уравнения

Уравнение теплопроводности. Задача Коши и смешанная задача для уравнения теплопроводности. Принцип максимума для уравнения теплопроводности. Теорема единственности решения смешанной задачи для уравнения теплопроводности. Теорема единственности ог-раниченного решения задачи Коши для уравнения теплопроводности. Понятие обобщенного решения сме-шанной задачи для уравнения теплопроводности. Теорема единственности обобщенного решения смешан-ной задачи для уравнения теплопроводности. Понятие обобщенного решения смешанной задачи для вол-нового уравнения. Единственность обобщенного решения смешанной задачи для волнового уравнения. Применение метода характеристик к изучению волнового уравнения. Единственность решения задачи Ко-ши для волнового уравнения.. Уравнение колебаний струны, решение Даламбера. Метод Фурье (метод раз-деления переменных ) решения смешанных задач для уравнений с частными производными (общая схе-ма).Метод Фурье для уравнений теплопроводности и свободных колебаний струны. Решение задачи Коши для уравнений теплопроводности и волнового уравнения. Квазилинейное уравнение колебаний струны.

Литература

Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М., 1970.
Курант Р. Уравнения с частными производными. М., 1964.
Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М., 1976.
Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М., 1957.
Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М., 1961.
Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений. М., 1965.
Ракин Л.В. Введение в теорию уравнений математической физики. СПб., 1999.
Ракин Л.В. Линейные интегральные уравнения. СПб., 1997.
Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М., 1979.
Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М., 1947.
Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., 1972.
Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. М., 1960.

Лектор: профессор Ю.З.Алешков

I. Принципы механики и физики

Предшественники И. Ньютона в механике.
И. Ньютон и его "Математические начала натуральной философии".
Законы механики.
Движение материальной точки в силовых полях.
Вывод закона Всемирного тяготения из законов И. Кеплера.
Система материальных точек.
Законы электродинамики. Д. К. Максвелл и его "Трактат об электричестве и магнетизме".
Закон индукции Фарадея, закон Ампера, закон сохранения заряда.
Уравнения Максвелла, скалярный и векторный потенциал.
Электромагнитное поле в вакууме.
Инвариантность формы уравнений Максвелла.
Законы механики сплошных сред. Л. Эйлер и аналитическое изложение механики. "Аналитическая механика" Лагранжа.
Законы сохранения массы, количества движения, момента количества движения и энергии.
Геологические соотношения. Упругое тело, закон Гука. Ньютоновская жидкость.
Первый и второй законы термодинамики.
Динамика электропроводной жидкости. Пондеромоторная сила. Законы Фарадея, Ампера, сохранения заряда для сплошной среды.
Уравнения движения электропроводной жидкости в дивергентной форме.
Описание движения смесей. Гомогенные и гетерогенные смеси. Законы сохранения массы, импульса, энергии для данной компоненты смеси. Термодинамическое соотношение Гиббса для компоненты смеси. Уравнения движения смеси в целом. Энтропия смеси. Второй закон термодинамики для смеси. Производство энтропии.
Магнитная гидродинамика. Интегралы системы уравнений МГД. Задача коши для системы уравнений идеальной плазмы. Поверхности слабого разрыва. Простые волны в идеальной плазме.
Поверхности сильного разрыва. Классификация поверхностей разрыва в идеальной плазме.
Волновое движение несжимаемой электропроводной жидкости. Простая волна. Волновые движения несжимаемой плазмы.
Несжимаемая электрически нейтральная жидкость. Аэрогидродинамика. Волны на воде. Движение тела в слое жидкости. Однородная и стратифицированная жидкость. Газовая динамика. Большие дозвуковые скорости. Околозвуковые течения. Сверхзвуковые течения и ударные волны.

II. Уравнения с частными производными.

Уравнения первого порядка, линейные, квазилинейные, нелинейные. Геометрическая интерпретация уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными. Задача Коши и характеристики. Случай любого числа независимых переменных. Полный, общий и особый интегралы. Система двух нелинейных уравнений первого порядка с одной искомой функцией. Система линейных уравнений. Аналитический случай, теорема Коши-Ковалевской, метод мажоратных рядов. Существование и единственность задачи Коши.
Уравнения второго порядка. Классификация квазилинейных уравнений, приведение к каноническому виду. Случай двух независимых переменных. Задача Коши для уравнений второго порядка. Характеристики при любом числе независимых переменных, бихарактеристики. Уравнения гиперболического типа. Метод Римана решения зачади Коши для линейного уравнения с двумя независимыми переменными. Волновое уравнение, формулы Кирхгора, Пуассона, Даламбера, С. Л. Соболева. Метод Фурье решения краевой задачи об определении свободных и вынужденных колебаний ограниченной струны. Обобщенные решения. Уравнения элиптического типа. Кравевые задачи в классической и обощенной постановке. Существование и единственность обощенного решения. Вариационный метод решения краевых задача Дирихле и Неймана. Гладкость обобщенных решений. Классические решения. Гармонические функции. Принципы максимума. Формулы Грина. Фундаментальные решения уравнений Лапласа и Гельмгольца. Потенциалы простого и двойного слоя. Уравнения параболического типа. Задача Коши, начально краевые задачи. Принцип максимума. Уравнение теплопроводности (диффузии) на прямой, на полупрямой. Однородное и неоднородное уравнения на отрезке. Распространение тепла в пространстве. Постоянно действующий источник. Мгновенно действующий источник. Задача Коши для уравнения теплопроводности в пространстве.
Линейные интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Метод последовательных приближений. Случай вырожденного ядра . Резольвента. Случай ядра, представимого в виде суммы вырожденного и "малого" ядер. Ядра интегральных уравнений со слабой особенностью.

Литература

Алешков Ю. З. Математическое моделирование физических процессов. СПб., 2001.
Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М., 1981.
Зубов В. И. Колебания и волны. Л., 1989.
Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М.; Л., 1962.
Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М., 1973.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. М., 1988.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М., 1992.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М., 1986.
Смирнов В. И. Курс высшей математики: В 5 т. Т. 4. Ч. 1. М., 1974; Т. 4. Ч. 2. М., 1981.
Соболев С. Л. Уравнения математической физики. М., 1954.
Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М., 1977.