zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Образование  » Программы курсов » Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика

Общий курс

Составители: к.ф.-м.н, доцент Буре В.М., д.ф.-м.н, профессор Шмыров А.С.

Учебная литература

  1. Ширяев А.Н. Вероятность М.: Наука, 1989.
  2. Боровков А.А. Теория вероятностей М.: Наука, 1986.
  3. Боровков А.А. Математическая статистика М.: Наука, 1984.
  4. Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Асимптотическая теория оценивания. М.: Наука, 1979.
  5. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. М.: Наука, 1982.
  6. Крамер Г. Математические методы статистики М.: Мир, 1976.
  7. Петров В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М.: Наука, 1987.
  8. Партасарати К. Введение в теорию вероятностей и теорию меры. М.: Мир, 1983.
  9. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.1,2. М.: Мир, 1984.
  10. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977.
  11. Ван дер Варден Б.Л. Математическая статистика. М.: ИЛ, 1960.
  12. Лоэв М. Теория вероятностей. М.: ИЛ, 1962.
  13. Линник Ю.В. Избранные труды. Теория вероятностей. Л.: Наука, 1981.
  14. Зубов В.И. Интерполяция и аппроксимация вероятностных распределений // Доклады АН СССР. 1991. Т.316, № 6. С.1298-1301
  15. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972.

Глава 1. Вероятностное пространство. Случайные величины

1.1. Вероятностная модель статистического эксперимента. Аксиоматика Колмогорова. Условная вероятность и независимость событий. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Энтропия распределения вероятностей.
1.2. Вероятностная модель последовательности независимых испытаний. Схема Бернулли, полиномиальное распределение, прямое произведение вероятностных пространств. Классические предельные теоремы в схеме Бернулли.
1.3. Вероятностная модель последовательности зависимых испытаний. Цепи Маркова. Уравнение Чепмена-Колмогорова. Эргодическая теорема для цепей Маркова.
1.4. Измеримые пространства. Полуалгебры, алгебры, сигма-алгебры, монотонные классы. Примеры измеримых пространств.
1.5. Основные вероятностные пространства. Вероятностное пространство на борелевской прямой. Функции распределения на числовой прямой. Прямое произведение вероятностных пространств на борелевских прямых. Многомерные функции распределения. Вероятностное пространство на совокупности числовых последовательностей.
1.6. Случайные величины. Свойство измеримости. Распределения случайных величин. Случайные элементы. Независимость случайных элементов и случайных величин.
1.7. Энтропия и информация.
1.8. Основные стандартные распределения случайных величин и их экстремальные свойства.

Глава 2. Математическое ожидание

2.1. Математическое ожидание как интеграл Лебега по вероятностной мере. Свойства математического ожидания.
2.2. Теорема о монотонном предельном переходе под знаком интеграла Лебега. Лемма Фату, теорема Лебега о мажорируемой сходимости.
2.3. Теорема о замене переменной под знаком интеграла Лебега. Теорема о математическом ожидании, когда функция распределения имеет плотность.
2.4. Моменты случайных величин. Неравенства Чебышева, Коши-Буняковского. Свойства дисперсии, ковариации. Неравенства Йенсена, Ляпунова, Гельдера, Минковского.
2.5. Наилучшие в среднеквадратическом смысле линейные оценки.
2.6. Интеграл Лебега как функция множества. Свойство абсолютной непрерывности мер. Теорема Радона-Никодима

Глава 3. Условные математические ожидания и условные распределения

3.1. Условные математические ожидания и условные вероятности относительно сигма-алгебр, порожденных счетными разбиениями.
3.2. Условные математические ожидания и условные вероятности относительно сигма-алгебр в общем случае.
3.3. Свойства условных математических ожиданий. Теоремы о предельном переходе под знаком условного математического ожидания.
3.4. Условное математическое ожидание относительно случайного элемента. Свойства.
3.5. Регулярные условные вероятностные меры. Условные распределения. Теорема о подсчете условных математических ожиданий усреднением по регулярной условной вероятностной мере.
3.6. Условные плотности случайных векторов. Условное математическое ожидание для случайных величин, имеющих совместное нормальное распределение.

Глава 4. Виды сходимости последовательностей случайных величин

4.1. Определение видов сходимости.
4.2. Сходимость с вероятностью единица. Лемма Бореля-Кантелли.
4.3. Сходимость по вероятности.
4.4. Сходимость в среднем.
4.5. Сходимость по распределению.
4.6. Иерархия видов сходимости.

Глава 5. Характеристические функции

5.1. Математическое ожидание комплексной случайной величины. Свойства.
5.2. Характеристические функции. Определение, свойства. Примеры.
5.3. Метод характеристических функций в доказательстве предельных теорем. Теорема Хелли о секвенциальной компактности семейства обобщенных функций распределения.
5.4. Теорема о непрерывном соответствии между характеристическими функциями и функциями распределения.

Глава 6. Предельные теоремы

6.1. Предельные теоремы для независимых одинаково распределенных случайных величин. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.
6.2. Закон больших чисел для независимых произвольно распределенных случайных величин.
6.3. Центральные предельные теоремы для независимых произвольно распределенных случайных величин. Теорема Линдеберга. Теорема Ляпунова.
6.4. Неравенство Колмогорова. Лемма Теплица. Лемма Кронекера. Усиленный закон больших чисел для независимых произвольно распределенных случайных величин.
6.5. Усиленный закон больших чисел для независимых одинаково распределенных случайных величин.
6.6. Теоретико-информационный подход Ю.В. Линника к доказательству предельных теорем.

Глава 7. Математическая статистика

7.1. Генеральная совокупность. Выборка, выборочное пространство. Эмпирическое распределение. Теорема Гливенко-Кантелли. Выборочные моменты. Статистики.
7.2. Теоремы непрерывности.
7.3. Типы статистик. Предельные распределения статистик I типа.
7.4. Предельное распределение статистики Пирсона.
7.5. Критерии согласия. Критерий Пирсона, критерий Колмогорова.
7.6. Параметрическая статистика. Свойства точечных оценок.
7.7. Теорема В.И. Зубова об аппроксимации функций распределения.
7.8. Методы построения точечных оценок. Метод максимального правдоподобия, метод моментов, другие методы.
7.9. Достаточные статистики. Теорема Неймана-Фишера. Теорема Колмогорова-Рао-Блэкуэлла.
7.10. Неравенство Рао-Крамера.
7.11. Интервальное оценивание. Доверительные интервалы. Асимптотические доверительные интервалы. Точные доверительные интервалы для параметров нормальной генеральной совокупности.
7.12. Проверка статистических гипотез. Проверка двух простых гипотез. Теорема Неймана-Пирсона.
7.13. Проверка сложных гипотез.
7.14. Непараметрические критерии. Критерий Вилкоксона, другие критерии.