zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Образование  » Программы курсов » Теория устойчивости движений

Теория устойчивости движений

Общий курс


Составитель: д.ф.-м.н, проф. Квитко А.Н.
Составитель: к.ф.-м.н., доцент Купцов С.Ю.

Составитель: д.ф.-м.н, проф. Квитко А.Н.

Раздел 1. Устойчивость по Ляпунову

1. Определение устойчивости, равномерной устойчивости и асимптотической устойчивости для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
2. Система в отклонениях. Определение устойчивости нулевого решения. Примеры исследования устойчивости систем специального вида.
3. Устойчивость линейных стационарных систем.

Раздел 2. Второй метод А.М.Ляпунова

1. Геометрический смысл второго метода Ляпунова.
2. Понятие положительно определенной, отрицательно определенной функции и функции, допускающей бесконечно малый высший предел. Конкретные примеры.
3. Понятие производной в силу системы и ее геометрический смысл.
4. Необходимые и достаточные условия устойчивости и равномерной устойчивости.
5. Теорема об асимптотической устойчивости. Оценка времени переходного процесса.
6. Примеры исследования устойчивости систем с помощью функции Ляпунова.
7. Необходимое и достаточное условие устойчивости системы дифференциальных уравнений.
8. Понятие экспоненциальной устойчивости. Примеры экспоненциально устойчивых систем.
9. Необходимое и достаточное условие экспоненциальной устойчивости линейных нестационарных систем.
10. Матричные и дифференциально-матричные уравнения Ляпунова.
11. Понятие экспоненциальной устойчивости в малом систем дифференциальных уравнений. Критерии экспоненциальной устойчивости в малом квазилинейных и нелинейных систем специального вида.

Раздел 3. Асимптотическая устойчивость в целом систем обыкновенных дифференциальных уравнений

1. Понятие α-предельных и ω-предельных точек.
2. Теорема о замкнутости и инвариантности α-предельных (ω-предельных) множеств.
3. Понятие бесконечно большой функции. Примеры.
4. Теорема Барбашина-Красовского об асимптотической устойчивости в целом.
5. Исследование устойчивости в целом конкретных систем.

Раздел 4. Область притяжения

1. Понятие области притяжения и ее свойства.
2. Теорема В.И.Зубова об области притяжения.
3. Алгоритм аппроксимации области притяжения для нелинейных систем.

Раздел 5. Исследование устойчивости в критических случаях

1. Теорема об устойчивости в особом случае.
2. Свойства решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с однородными правыми частями.
3. Теорема о необходимом и достаточном условии асимптотической устойчивости систем с однородными правыми частями.
4. Теорема об устойчивости системы с вырожденной матрицей ее линейной части.
5. Теорема об устойчивости системы с мнимыми характеристическими числами ее линейной части.

Раздел 6. Первый метод А.М.Ляпунова

1. Понятие характеристичных чисел функций и их свойства.
2. Понятие характеристичных чисел линейной однородной нестационарной системы.
3. Свойства характеристичных чисел.
4. Теорема о свойствах решений нелинейной системы с нестационарной линейной частью в окрестности положения равновесия.

Раздел 7. Устойчивость при постоянно действующих возмущениях

1. Понятие устойчивости при постоянно действующих возмущениях. Физический смысл.
2. Теорема об устойчивости при постоянно действующих возмущениях.
3. Теорема Е.А.Барбашина о накоплении возмущений.

Литература

  1. Зубов В.И. Лекции по теории устойчивости.- М.: Наука, 1975.
  2. Зубов В.И. Теория колебаний.- М.: Высш. шк., 1979.
  3. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова.- М.: Наука, 1970.
  4. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения.- М.: Физматгиз, 1959.
  5. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения.- М.: Наука, 1966.

Составитель: к.ф.-м.н., доцент Купцов С.Ю.

Часть I. Проблема устойчивости движений

Пункт 1. Основные понятия и определения. Продолжимость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, теорема об интегральной непрерывности. Введенные А.М. Ляпуновым понятия: устойчивости, асимптотической устойчивости, неустойчивости и равномерной устойчивости решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Система в отклонениях.

Пункт 2. Устойчивость линейных систем. Свойства линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, связанные с устойчивостью по Ляпунову. Критерий устойчивости линейной системы. Критерий асимптотической устойчивости линейной системы. Линейные стационарные системы. Критерий устойчивости линейной стационарной системы. Критерий асимптотической устойчивости линейной стационарной системы. Некоторые достаточные условия устойчивости линейных нестационарных систем.

Часть II. Основы первого метода А.М. Ляпунова решения вопроса устойчивости нулевого решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Характеристические числа функций и их свойства. Характеристические числа решений линейных однородных систем ОДУ и их свойства. Преобразование А.М. Ляпунова. Приводимые системы. Критерий Еругина приводимости линейных однородных систем. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Теорема Флоке. Матрица монодромии, мультипликаторы. Критерии устойчивости и асимптотической устойчивости линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Правильные системы обыкновенных дифференциальных уравнений и их свойства. Теорема А.М. Ляпунова об исследовании устойчивости нулевого решения по первому приближению для систем с правильной линейной частью.

Часть III. Основы второго метода А.М. Ляпунова решения вопроса устойчивости нулевого решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Пункт 1. Теоремы А.М. Ляпунова. Понятие положительной определенности для функций, геометрическая интерпретация и свойства. Функции допускающие бесконечно-малый высший предел. Теорема А.М. Ляпунова об устойчивости. Теорема А.М. Ляпунова об асимптотической устойчивости. Первая теорема А.М. Ляпунова о неустойчивости. Вторая теорема А.М. Ляпунова о неустойчивости.

Пункт 2. Теорема Н.Г. Четаева о неустойчивости нулевого решения.

Пункт 3. Некоторые достаточные условия асимптотической устойчивости и неустойчивости для квазистационарных линейных систем.

Пункт 4. Теоремы В.И. Зубова об обращении теорем Ляпунова.

Пункт 5. Исследование устойчивости нулевого решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений по первому приближению. Экспоненциальная устойчивость. Критерий экспоненциальной устойчивости нулевого решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Матричное уравнение А.М. Ляпунова, метод его решения в стационарном случае. Теорема А.М. Ляпунова об исследовании вопроса устойчивости нулевого решения по линейному приближению.

Пункт 6. Область асимптотической устойчивости для нулевого решения автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Определение и свойства. Асимптотическая устойчивость автономной системы в целом. Теорема Е.А. Барбашина и Н.Н. Красовского об асимптотической устойчивости в целом. Общий случай, теорема В.И. Зубова об области асимптотической устойчивости. Условие на границе.

Список литературы

  1. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1953.
  2. Зубов В.И. Методы Ляпунова и их применение. Л.: Изд-во ЛГУ, 1957.
  3. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.
  4. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1949.
  5. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.
  6. Дубошин Г.Н. Основы устойчивости движения. М.: Изд-во МГУ, 1952.