zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Образование  » Программы курсов » Теория управления

Теория управления

Общий курс

Программа разработана под общим руководством чл.-корр. РАН, проф. В.И.Зубова
авторским коллективом в составе: чл.-корр. РАН, проф. В.И.Зубов, проф. В.Л.Харитонов, проф. Е.И.Веремей, доц. В.В.Еремеев, доц. О.Н.Чижова, доц. Н.В.Смирнов

Введение. Основные проблемы теории управления.

Задача построения оптимальных программных движений. Задача оптимальной стабилизации программных движений. Классическое вариационное исчисление и теория устойчивости Ляпунова - базовый математический аппарат теории управления. Новые оптимизационные подходы. Теория управления в условиях конфликта.

ЧАСТЬ 1. ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОГРАММНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Тема 1. Основные понятия вариационного исчисления.
Примеры содержательных задач о поиске экстремумов. Типовые формализованные задачи вариационного исчисления. Основные понятия и определения. Линейные функционалы в линейных нормированных пространствах. Общая постановка задачи вариационного исчисления. Классификация экстремумов.

Тема 2. Необходимые условия экстремума.
Элементы дифференциального исчисления в линейных нормированных пространствах. Примеры сильно дифференцируемых функционалов. Сильная дифференцируемость функционала классического вариационного исчисления. Условия экстремума функционалов в линейных нормированных пространствах.

Тема 3. Простейшая (основная) задача вариационного исчисления.
Необходимые условия экстремума в простейшей задаче. Основные леммы вариационного исчисления. Уравнение Эйлера. Экстремали в регулярной и сингулярной ситуациях. Случаи упрощения уравнения Эйлера. Примеры.

Тема 4. Обобщения простейшей задачи вариационного исчисления.
Вариационная задача с незакреплёнными границами. Однопараметрическое семейство допустимых функций. Первый дифференциал по параметру. Условия трансверсальности. Разрывные задачи. Условия Вейерштрасса-Эрдмана. Задачи с ограничениями. Односторонние вариации.

Тема 5. Достаточные условия экстремума. Сильный экстремум.
Вторая вариация функционала. Условие Лежандра. Достаточные условия слабого относительного экстремума. Геометрическая интерпретация достаточных условий слабого локального экстремума. Достаточные условия сильного относительного экстремума. Необходимые условия сильного относительного экстремума.

Тема 6. Вариационные задачи для случая многих неизвестных функций.
Простейшая вариационная задача с n неизвестными. Каноническая форма системы дифференциальных уравнений Эйлера. Обобщения простейшей вариационной задачи для случая n неизвестных. Сильный относительный экстремум.

Тема 7. Вариационные задачи на условный экстремум.
Правило множителей Лагранжа в задаче конечномерной оптимизации. Вариационная задача Лагранжа на условный экстремум. Частные ситуации при задании дифференциальных связей в нормальной форме. Изопериметрическая задача.

Тема 8. Основные понятия и задачи теории оптимального управления.
Пример содержательной задачи о построении оптимального управления. Задача оптимального программного управления как вариационная задача на условный экстремум. Классификация задач теории оптимального управления.

Тема 9. Новые формы необходимых условий экстремума в двух задачах теории оптимального управления.
Построение оптимальных программных управлений в задаче Больца. Однопараметрическое семейство допустимых управлений. Первый дифференциал по параметру. Необходимые условия экстремума и их каноническая форма. Оптимальное стабилизирующее управление. Принцип оптимальности и уравнение Беллмана.

Тема 10. Оптимальное демпфирование переходных процессов.
Оптимальное демпфирование по отношению к функции. Задача об оптимальном быстродействии. Связь задач оптимального демпфирования и минимизации интегральных функционалов. Достаточные условия экстремума в задаче Лагранжа.

Тема 11. Принцип Вейерштрасса и принцип максимума в теории оптимального управления.
Принцип Вейерштрасса - необходимое условие экстремума. Постановка задачи. Понятие игольчатой вариации управления. Доказательство принципа Вейерштрасса. Принцип максимума и его соотношение с принципом Вейерштрасса.

ЧАСТЬ 2. ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ ПРОГРАММНЫХ ДВИЖЕНИЙ

Тема 1. Программные управления в нестационарных системах.
Класс допустимых управлений. Постановка задачи построения программного управления. Лемма о представлении допустимых управлений. Алгоритм решения задачи. Критерии управляемости. Достаточное условие полной управляемости. Множество достижимости. Общая граничная задача. Задача локализации движения. Импульсные программные управления.

Тема 2. Программные управления в стационарных системах.
Критерии полной управляемости. Случай устойчивой системы и понятие грамиана управляемости. Разбиение не полностью управляемой системы на управляемую и неуправляемую части.

Тема 3. Программные управления в разностных системах.
Понятие разностной системы, ее решения и допустимого управления. Алгоритм построения программного управления. Критерии полной управляемости. Стационарные разностные системы. Разбиение не полностью управляемой разностной системы на управляемую и неуправляемую части. Устойчивые стационарные системы. Понятие грамиана управляемости.

Тема 4. Задача наблюдений в линейных системах.
Постановка задачи и алгоритм решения. Понятие полной наблюдаемости и ее критерии. Стационарные наблюдаемые системы. Разбиение не полностью наблюдаемой системы на наблюдаемую и ненаблюдаемую части. Устойчивые наблюдаемые системы. Понятие грамиана наблюдаемости. Задача наблюдения в разностных системах. Задача дискретной наблюдаемости.

Тема 5. Связь задачи управления и задачи наблюдения.
Принцип двойственности. Каноническое разбиение системы. Восстановление элементов движения. Локализация движения по наблюдениям.

Тема 6. Задача непрерывной стабилизации программных движений.
Стабилизация систем с полной информацией. Условия разрешимости задачи. Стабилизация систем с неполной информацией. Система асимптотической оценки и система оценки дополнительных переменных. Стабилизация по линейному приближению.

Тема 7. Дискретная и релейная стабилизация.
Стабилизация разностных систем с полной и неполной информацией. Дискретная стабилизация непрерывных систем с полной и неполной информацией. Дискретная стабилизация с заданным шагом дискретности. Релейная стабилизация.

Тема 8. Синтез оптимальных стабилизирующих управлений.
Постановка задачи оптимальной стабилизации. Критерий разрешимости задачи. Уравнение Риккати и его свойства. Метод последовательных приближений построения оптимального стабилизирующего управления. Связь оптимального стабилизирующего и оптимального демпфирующего управлений.

Тема 9. Устойчивость неопределенных систем.
Понятие неопределенной системы. Постановка задачи устойчивости и методы ее решения. Свойства устойчивых полиномов и устойчивость семейств полиномов. Радиус устойчивости матрицы. Стабилизация неопределенных систем.

Литература

  1. Гюнтер Н.М. Курс вариационного исчисления. Л.; М., 1941.
  2. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., 1969.
  3. Коша А. Вариационное исчисление. М., 1983.
  4. Ахиезер Н.И. Лекции по вариационному исчислению. М., 1955.
  5. Лаврентьев М.А., Люстерник Л.А. Курс вариационного исчисления. М., 1950.
  6. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.
  7. Зубов В.И. Теория оптимального управления. Л., 1969.
  8. Зубов В.И. Динамика управляемых систем. М., 1982.
  9. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М., 1979.
  10. Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. М., 1975.
  11. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.
  12. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971.
  13. Андреев Ю.Н. Управление конечными линейными объектами. М.: Наука, 1976.
  14. Жабко А.П., Харитонов В.Л. Методы линейной алгебры в задачах управления. Л.: Изд-во ЛГУ, 1991.

ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ИГР И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ

Составители: д.ф.-м.н., профессор Петросян Л.А., к.ф.-м.н., доцент Зенкевич Н.А.

Учебная литература.

  1. Петросян Л.А.,Зенкевич Н.А. Теория игр. - М.: изд-ва ВШ и "Книжный дом "Университет", 1998.- 300 с.
  2. Таха Х. Введение в исследование операций.Т.1,2. - М.: Мир, 1985. - 560 с.
  3. Вагнер Г. Основы исследования операций.Т.1-3. - М.: Мир, 1972-1973. - 632 с.
  4. Форд Л.,Фалкерсон Д. Потоки в сетях.- М.: Мир, 1966. - 230 с.
  5. Гейл Д. Теория линейных экономических моделей.- М.: Мир, 1969.- 342 с.
  6. Ху Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях. - М.: Мир, 1972. - 410 с.
  7. Тироль Ж. Теория организации промышленности.Т.1,2.(Перевод с англ. под ред. Гальперина А.С. и Зенкевича Н.А.) - СПб: изд-во "Экономическая школа", 2000.- 876 с.
  8. Харшаньи Дж.,Зельтен Р. Общая теория выбора равновесия в играх.(Перевод с англ. под ред. Зенкевича Н.А.) - СПб: изд-во "Экономическая школа", 2001.- 415 с.
  9. Петросян Л.А.,Гарнаев А.Ю. Игры поиска. - СПб: изд-во СПбГУ, 1992. - 216 с.
  10. Петросян Л.А.,Кузютин Д.В. Игры в развёрнутой форме. - СПб: изд-во СПбГУ, 2001. - 218 с.

Глава 1.Линейное программирование.

1.1. Постановка задач линейного программирования(ЗЛП).
1.2. Основные математические предположения,формализация задачи.
1.3. Различные формы записи ЗЛП.Эквивалентные формулировки.
1.4. Допустимые и оптимальные решения.
1.5. Понятие базисного решения.Лемма.
1.6. Нахождение базисного решения.Симплексная таблица.
1.7. Допустимое базисное решение.Теорема о существовании.
1.8. Алгоритм прямого симплекс-метода.
1.9. Начальное базисное решение.Двухразовый симплекс-метод.
1.10. Прямая и двойственная задачи линейного программирования.
1.11. Двойственный симплекс-метод.
1.12. Теорема двойственности.
1.13. Теорема равновесия.

Глава 2.Матричные игры.

2.1. Понятие матричной игры.
2.2. Понятие равновесия и седловой точки.
2.3. Решение в чистых стратегиях.
2.4. Смешанное расширение матричной игры.
2.5. Свойства ситуации равновесия.
2.6. Теорема о доминировании в матричных играх.
2.7. Графоаналитический метод решения матричных игр.
2.8. Метод Брауна-Робинсона.
2.9. Основная теорема матричных игр.
2.10. Алгоритм нахождения оптимальных стратегий.

Глава 3.Целочисленное программирование.

3.1. Потоки в сетях.
3.2. Теорема о максимальном потоке.Алгоритм нахождения максимального потока и минимального сечения в сети.
3.3. Формулировка транспортной задачи(Т-задача).Способы задания Т-задачи.Разрешимость.
3.4. Условие баланса.
3.5. Нахождение начального опорного плана.Приближённый метод Фогеля.
3.6. Алгоритм метода потенциалов и его обоснование.
3.7. Простая задача о назначениях.
3.8. Задача об оптимальных назначениях.
3.9. Метод ветвей и границ.Алгоритм.
3.10. Решение задачи коммивояжёра.

Глава 4.Нелинейное программирование.

4.1. Постановка задачи нелинейного программирования.Примеры.
4.2. Множество возможных направлений.Свойства.
4.3. Свойства оптимальных решений.Активные ограничения.Условие регулярности.
4.4. Лемма Фаркаша.Теорема Куна-Таккера(необходимость).
4.5. Условия Куна-Таккера для ограничений типа равенств и смешанных ограничений.
4.6. Достаточность условий Куна-Таккера для вогнутых функций.
4.7. Метод возможных направлений(метод линеаризации для задачи с линейными ограничениями).
4.8. Оптимальный портфель ценных бумаг.

Глава 5.Динамическое программирование.

5.1. Динамическое программирование.Примеры решения задач.
5.2. Уравнение Беллмана для детерминированного многошагового процесса принятия решений.
5.3. Решение задачи дискретного оптимального быстродействия.
5.4. Непрерывная задача быстродействия.
5.5. Динамическое программирование и принцип максимума Понтрягина.
5.6. Пример на принцип максимума.

Глава 6.Неантагонистические игры.

6.1.Примеры неантагонистических игр в нормальной форме.
6.2. Равновесие по Нэшу, оптимальность по Парето.
6.3. Смешанное расширение игры многих лиц.
6.4. Существование равновесия в смешанных стратегиях для биматричной игры.
6.5. Игры в форме характеристической функции.Доминирование дележей.
6.6. Ядро кооперативной игры.Вектор Шепли.
6.7. Примеры построения характеристических функций и ядра.
6.8. Игра в развёрнутой форме и примеры.
6.9. Существование абсолютного равновесия по Нэшу в игре с полной информацией.
6.10. Равновесие по Нэшу в стратегиях наказания.Основная теорема.Примеры.