zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Образование  » Программы курсов » Математический анализ II. Теория функций комплексного переменного

Математический анализ II.
Теория функций комплексного переменного

Общий курс

Разработал: к.ф.-м.н., доцент Старков В.Н.

1. Комплексные числа и действия над ними
Алгебраическая форма комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в различных формах. Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа. Понятие расширенной комплексной плоскости. Сфера Римана.
2. Функции комплексного переменного
Определение функции комплексного переменного. Предел и непрерывность функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции комплексного переменного. Аналитические функции. Связь аналитических функций с гармоническими. Восстановление аналитической функции по ее вещественной или мнимой части.
3. Конформные отображения
Геометрический смысл аргумента и модуля производной функции комплексного переменного.
Конформные отображения, осуществляемые с помощью функций: линейной функции, дробно-линейной функции, инверсии, целой степенной функции, радикала, показательной функции, логарифмической функции, функции Жуковского.
4. Интегрирование функций комплексного переменного
Определение интеграла от функции комплексного переменного. Интегральная теорема Коши и ее следствия. Теорема о первообразной. Интегральная формула Коши. Производные высших порядков от функций комплексного переменного. Принцип максимума модуля аналитической функции. Неравенство Коши и теорема Лиувилля. Теорема Морера. Понятие аналитического продолжения.
5. Представление аналитических функций рядами
Разложение аналитических функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Теорема о разложении функции в ряд Тейлора. Примеры построения аналитического продолжения с помощью степенных рядов. Ряд Лорана. Теорема Лорана. Изолированные особые точки, их классификация с помощью ряда Лорана. Разложение в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.
6. Вычеты функций и их применение
Вычет функции относительно изолированной особой точки. Основная теорема о вычетах. Вычисление вычетов в конечных особых точках. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов. Несобственные интегралы от вещественной переменной. Вычисление интегралов на основе теоремы Коши.

Основная литература

  1. Алешков Ю. 3. Лекции по теории функций комплексного переменного. - СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та. 1999. - 196 с.
  2. Алешков Ю. 3., Смышляев П. П. Теория функций комплексного переменного и ее приложения. - Л.: Изд-во Ленингр. ун-та.1986.- 248 с.
  3. Бицадце А. В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного.- М.: Наука, 1984.- 320 с.
  4. Евграфов М.А. Аналитические функции.-М.: Наука, 1965.-424 с.
  5. Маркушевич А. И., Маркушевич Л. А. Введение в теорию аналитических функций. - М.: Просвещение. 1977.- 320 с.
  6. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций.-М.: ГИТТЛ, 1957.-335 с.
  7. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. - М.: Наука. 1967.- 304 с.

Литература для более глубокого изучения

  1. 8. Александров И.А., Соболев В.В. Аналитические функции комплексного переменного.-М.: Высшая школа, 1984.-192 с.
  2. 9. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного.- М.: Наука, изд. 3-е, 1965. - 716 с.
  3. 10. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного.- М.: Наука, 1977.- 444 с.
  4. 11. Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа.- М.: Наука, 1980. -336 с.
  5. 12. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 3, ч. 2.- М.: Наука, 1974.- 672 с.
  6. 13. Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменного и их применения. - М.: Высшая школа, 1988.-200 с.
  7. 14. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного.-М.: Наука. 1976.-408 с.
  8. 15. Стельмащук Н.Т., Шилинец В.А. Элементы теории аналитических функций.-Минск, ДизайнПРО, 1997.-192 с.
  9. 16. Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Пер. с румын.-М.: ИЛ, 1962.Т.1.-364 с., Т.2.-416 с.
  10. 17. Фукс Б.А., Шабат Б.В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения.-М.-Л.: Наука, 1951.-308 с.
  11. 18. Фукс Б. А., Левин В. И. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения.-М.; Л.: Наука, 1951.- 308 с.
  12. 19. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ.-М.: Наука, 1969.- 576 с.

Задачники

  1. Ангилейко И. М., Козлова Р. В. Задачи по теории функций комплексной переменной.- Минск: Вышэйшая школа, 1976. -128 с.
  2. Волковыский Л. И., Лунц Г. Л., Араманович И. Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного.-М.: Физматгиз, 1960.- 368 с.
  3. Грищенко А. Б. и др. Теория функций комплексного переменного: решение задач: Учеб. пособие. Киев: Вища школа, 1986.- 333 с.
  4. Гюнтер Н. М., Кузьмин Р. О. Сборник задач по высшей математике. Т.3- М.; Л.: ГИТТЛ, 1951.- 268 с.
  5. Задачи по теории функций комплексного переменного. Части 1: Методические указания/ Составители: Перфеева Н.Н., Осипков Л.П., Старков В.Н..- СПб.: Изд-во С.-Петербургского университета, 2006.- 52 с.
  6. Задачи по теории функций комплексного переменного. Части 2: Методические указания/ Составители: Перфеева Н.Н., Осипков Л.П., Старков В.Н..- СПб.: Изд-во С.-Петербургского университета, 2006.- 44 с.
  7. Коппенфельс В., Штальман Ф. Практика конформных отображений. М.: ИЛ, 1963.- 486 с.
  8. Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости.-М.: Наука, 1981.-225 с.
  9. Сборник задач по теории аналитических функций/ Под ред. М. А. Евграфова. 2-е изд.- М.: Наука, 1972. -416 с.
  10. Старков В. Н. Задачи по теории функций комплексного переменного: Учебное пособие. - СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1998. - 100 с.